Эконометрика, её задача и метод. Эконометрические модели и два принципа их спецификации (стр. 22 )

Это так называемая неограниченная приведённая форма. Структурную форму можно записать следующим образом:

Это так называемая ограниченная приведённая форма, то есть приведённая форма с ограничением на коэффициенты следующего вида: .

Если задана структурная форма, то всегда можно получить ограниченную приведённую форму (предполагается, что матрица А невырождена). Однако, обратное не всегда возможно, а если возможно, то не всегда однозначно.

Структурное уравнение называется идентифицируемым, если его коэффициенты можно выразить через коэффициенты приведённой формы. Если это можно сделать единственным способом, то говорят о точной индентифицируемости, если несколькими способами — о сверхидентифицируемости. В противном случае оно называется неидентифицируемым. Сверхидентифицируемость фактически означает, что на коэффициенты приведённой формы наложены некоторые ограничения (сверхидентифицирующие). В полной приведённой форме участвуют все экзогенные переменные и на коэффициенты не налагается никаких ограничений.

Необходимое условие идентифицируемости структурного уравнения (порядковое условие): количество переменныхправой части уравнения должно быть не больше количества всех экзогенных переменных системы. В канонической форме (когда "левой" и "правой" частей нет) данное условие иногда формулируют следующим образом: количество исключенных из данного уравнения экзогенных переменных должно быть не меньше количества включенных эндогенных переменныхуравнения минус единица. Если данное условие не выполнено, то уравнение неидентифицируемо. Если выполнено со знаком равенства, то, вероятно, точно идентифицируемо, иначе - сверхидентифицируема.

Достаточное условие идентифицируемости структурного уравнения: ранг матрицы, составленной из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении, не меньше общего числа эндогенных переменных системы минус единица.

Примеры

Простейшая макроэкономическая (кейнсианская) модель

Здесь C и Y — потребление (потребительские расходы) и доход — эндогенные переменные модели, I — инвестиции — экзогенная переменная модели, b — предельная склонность к потреблению

Приведённая форма модели имеет вид:

Величина  называется мультипликатором инвестиций (единица увеличения инвестиций приводит к существенно большему изменению дохода).

Можно проверить порядковое условие идентифицируемости. В первом уравнении в правой части 1 эндогенная переменная и нет экзогенных переменных (без учета константы). Всего экзогенных переменных в модели - 1 (тоже без константы). Таким образом, порядковое (необходимое) условие идентифицируемости выполнено.

Видно, что приведённая форма является ограниченной с двумя ограничениями  и .

40. Эконометрические модели из одновременных уравнений. Нарушение предпосылки теоремы Гаусса-Маркова о некоррелированности объясняющих переменных и случайных возмущений как источник несостоятельности мнк-оценок параметров (на примере простой кейнсианской модели формирования доходов).

Существуют несколько методов вычисления состоятельных оценок параметров линейной модели множественной регрессии в условиях нарушения четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова.

Наиболее практичный метод - метод применения инструментальных переменных. В его основе лежит понятие инструментальной переменной.

Определение. Пусть имеется модель линейной множественной регрессии

 (1)

в которой объясняющие переменные  коррелируют в пределе со случайными возмущениями  .То есть не выполняется условие состоятельности МНК-оценок параметров модели о том, что существует и равен предел по вероятности:  ). Переменные  называются инструментальными для модели (1), если они удовлетворяют двум требованиям:

1. Существует предел

2. Существует невырожденная матрица:

Из определения следует, что инструментальные переменные в пределе коррелируют с исходными регрессорами  , но не коррелируют в пределе со случайными возмущениями. Z и Х матрицы размерностью n×K, составленные по результатам наблюдений за соответствующими переменными.

Теорема. Процедура  доставляет состоятельные оценки параметров модели (1).

41. Использование инструментальных переменных при идентификации поведенческих уравнений модели в структурной форме.

В основе метода применения инструментальных переменных для вычисления состоятельных оценок параметров линейной модели множественной регрессии в условиях нарушения четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова лежит понятие инструментальной переменной. Определение. Пусть имеется модель линейной множественной регрессии

Модель 1.

Yt=a1x1t + a2x2t + akxkt + ut

M(ut) = 0; σ2(ut) = σ2u

В которой объясняющие переменные коррелируют в пределе со случайными возмущениями ut. Переменные (z1t, z2t,…,zkt) называются инструментальными для модели, приведенной выше, если они соответствуют двум требованиям:

Существует предел:

 Plimn→∞((1/n)ZTu) = 0

Существует невырожденная матрица:

Mzz = Plimn→∞((1/n)ZTX)-1

Заметим, что инструментальные переменные в пределе коррелируют с исходными регрессорами, но не коррелируют со случайными возмущениями.

Теорема: Процедура

  ~ a = (ZTX)-1ZTy

доставляет состоятельные оценки параметров модели 1.

Таким образом, инструментальные переменные используются в косвенном методе наименьших квадратов и двухшаговом методе наименьших квадратов для идентификации поведенческих уравнений модели в их структурной форме.

41.52. Эконометрические модели из одновременных уравнений. Процедура двухшагового метода наименьших квадратов оценивания уравнения модели.

Если система одновременных уравнений сверхидентифицируема, то КМНК не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуется в четыре этапа.

1. На основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется ее приведенная форма.

2. Неизвестные коэффициенты каждого уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений оцениваются традиционным методом наименьших квадратов.

3. Рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных переменных в сверхидентифицированном уравнении.

4. С помощью традиционного метода наименьших квадратов определяются все структурные коэффициенты уравнений системы через предопределенные переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Метод получил название двухшагового МНК потому, что МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и на четвертом шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным расчетных значений эндогенных переменных.