Эконометрика, её задача и метод. Эконометрические модели и два принципа их спецификации (стр. 5 )

Оценка â n параметра a называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятно­сти к оцениваемому параметру:

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся ма­ловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Несмещенная оценка ã n параметра a называется эффектив­ной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметраa, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Так как для несмещенной оценки M(ãn-a)2есть ее дис­персия, то эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки.

Для нахождения оценок параметров (характеристик) генераль­ной совокупности используется ряд методов.

Указанные критерии оценок (несмещенность, состоятель­ность, эффективность) обязательно учитываются при разных способах оценивания

17.Понятие статистической гипотезы. Процедура проверки статистической гипотезы

Статистической гипотезой называется любое предположение относительно вида закона распределения случайной величины или относительно значения параметров.

Например, гипотезой является предположение, что случайные возмещения в наблюдении имеет нормальный закон распределения, или математическое ожидание случайного возмущения в наблюдениях равно нулю.

Наряду с основной гипотезой могут быть выведены и альтернативные гипотезы.
Принято обозначать основную гипотезу Н0
Н0: Е(u / x) = 0

Альтернативную гипотезу:
Н1: (u / x) > 0

Проверка статистической гипотезы является 1й из основных задач математической статистики.
Объективной основой проверки истинности (ложности) гипотезы может служить только ее значение, полученной в результате наблюдения.
Порядок действий при проверке статистических гипотез можно представить в виде следующего алгоритма:

Шаг1. Формулируется основная гипотеза

Шаг 2. Создается случайная переменная Z, связанная с выдвинутой гипотезой и с известным законом распределения
Закон распределения случайной переменной, которая содержится в сформулированной гипотезе, может быть известен, а следовательно, нельзя сказать о ее поведении. Поэтому создается случайная переменная, о поведении которой можно судить по ее закону распределения.

Шаг 3. Создается значение доверительной вероятности (Рдоверит)

Область определения созданной случайной переменной Z разбивается на 2е непересекающиеся подобласти:
1) область, где гипотеза H0 принимается Z(H0)

2) область, где гипотеза Н0 отклоняется Z(H1)

Следовательно, Рдоверит: Z(H0), Z(H1)

Разбиение области определения созданной случайной переменной осуществляется таким образом, чтобы оказалось справедливым следующее равенство:

P(Z(H0)принадлежит z) = Рдоверит

Вероятность попадания случайной переменной z в область Z(H0), при условии, что гипотеза H0 – истина, равна принятой доверительной вероятности, т. е. в о. о. переменной z выделяется участок, внутри которого случайное событие окажется практически достоверным, при условии, что гипотеза H0 – истина.

Граница, разделяющая о. о. случайной переменной z, называется критическим значением распределения.

Шаг 4. Проверяется появление случайного события z, принадлежащего Z(H0):
а) если событие появилось, то гипотеза Н0 принимается, как непротиворечащая опытным данным

в) если событие не появилось, то гипотеза Н0 отклоняется

Случайную переменную z называют статистикой критерия гипотезы H0

Описанный алгоритм проверки статистических гипотез допускает возникновение ошибок, т. е. неверных выводов относительно тестируемой гипотезы.
Отметим, что данная гипотеза Н0 принимается с доверительной вероятностью (Рдоверит), следовательно, остается вероятность отвергнуть данную гипотезу (α=0,05)
При проверке статистических гипотез, связанных с анализом эконометрических моделей, как правило используют 2е искусственно созданные переменные:

1) Дробь Стьюдента: t= 

 – стандартная ошибка отклонения оценки 

 – МНК оценка параметра

a – значение, на равенство которого тестируется параметр

Дробь Стьюдента в схеме Гаусса – Маркова имеет закон распределения Стьюдента с параметром n-k-1.

Критическое значение дроби Стьюдента  находится из уравнения:

 ) = P(  )= 

или двусторонний квантиль распределения Стьюдента

2) дробь Фишера 

Где

u & ν – две независимые случайные переменные, имеющие закон распределения с числом степени свободы соответственно n & m

n – объем выборки

m = n-κ-1

κ – количество регрессоров

Дробь Фишера, при условии, что случайные переменные u & ν распределены по нормальному закону, подчиняется закону распределения Фишера с параметрами m & n.

Критическое значение дроби Фишера – решение уравнения

Р( Fnm < Fкрит ) =  = Pдов

Где PF(q) – функция плотности вероятности закона распределения Фишера

Fα - односторонняя квантиль распределения Фишера или критерий Фишера

18. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок МНК (формулировка теоремы Гаусса-Маркова).

Метод наименьших квадратов — математический (математико-статистический) прием, служащий для выравнивания динамических рядов, выявления формы корреляционной связи между случайными величинамии др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией. Причем последняя подбирается с таким расчетом, чтобы среднеквадратичное отклонение фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим.

Рассматривается модель парной регрессии, в которой наблюдения  связаны с  следующей зависимостью: . На основе  выборочных наблюдений оценивается уравнение регрессии . Теорема Гаусса—Маркова гласит:

Если данные обладают следующими свойствами:

Модель данных правильно специфицирована; 

Все  детерминированы и не все равны между собой; 

Ошибки не носят систематического характера, то есть ; 

Дисперсия ошибок одинакова и равна некоторой ; 

Ошибки некоррелированы, то есть ; 

— то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов оптимальны в классе линейных несмещённых оценок.

Пояснение к теореме

Первое условие: модель данных правильно специфицирована. Под этим словосочетанием понимается следующее:

·  Модель состоит из фиксированной части  и случайной части