Определение напряженного состояния прямоугольных анизотропных пластин в пространственной постановке (стр. 10 )

                  (3.3.6)

Принимая, что коэффициенты первых k столбцов в равенствах (3.3.6) образуют неособенную матрицу, перенесем другие столбцы в правую часть. Тогда условия (3.3.6) запишем в виде

                  (3.3.7)

Присваивая компонентам последовательно значения столбцов единичной матрицы и положив при этом , определим начальные условия для ; при , находим начальные условия для . Метод дискретной ортогонализации даёт возможность получить устойчивый вычислительный процесс за счет ортогонализации векторов-решений задач Коши в конечном числе точек интервала изменения аргумента. Разобъем весь интервал на малые отрезки точками интегрирования так, что .  Среди этих точек виберем точки ортогонализации . Это обычно зависит от степени необходимой точности решения задачи и не зависит от других условий. Пусть в точке любым численным методом, например Рунге-Кутта, найдены решения задач Коши, которые обозначим через . Допуская, что в точке заданы условия (3.3.7), рассмотрим векторы :

,                  (3.3.8)

где – решения однородных задач,   –  решение неоднородной задачи Коши.

Таким образом, в точке до ортогонализации имеем векторы:

.                  (3.3.9)

Проортонормируем векторы   в  точке и обозначим их через

.                          (3.3.10)

Векторы выражаются через  векторы таким образом:

,                  (3.3.11)
где

.

Вектор не нормируется и вычисляется по формуле:

.                  (3.3.12)

При получаем:

                  (3.3.13)

После преобразований получим матричное равенство:

                                                                (3.3.14)

где

                        (3.3.15)

Векторы есть  начальными значениями задач Коши для однородной () и неоднородной () систем дифференциальных уравнений в интервале  .

В каждой точке ортогонализации решение системы уравнений, которое удовлетворяет граничным условиям на левом конце интервала (3.3.2) – (3.3.3), можно записать в виде двух выражений:

до ортогонализации:

                                                (3.3.16)

после ортогонализации:

                                                        (3.3.17)

Решение системы уравнений (3.3.5) на отрезке можно представить в виде:

                                                        (3.3.18)

После интегрирования на последнем промежутке и ортогонализации в точке имеем:        

                                                (3.3.19)

Удовлетворяя граничным условиям на правом конце интервала интегрирования, то есть подставляя (3.3.19) в (3.3.3), получаем систему m линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных. После нахождения , решение граничной задачи (3.3.1) – (3.3.3) в точке дается формулой (64). На этом заканчивается прямой ход решения задачи.

При обратном ходе по значениям постоянных определяются постоянные , начиная с . Для этого приравняем правые части выражений (3.3.16) и (3.3.17):

                                (3.3.20)

Подставляя вместо их значения из (3.3.14), при имеем:

  (3.3.21)

Приравнивая коэффициенты при векторах в (3.3.21), находим:

                                                                        (3.3.22)

или

где - транспонированная матрица (3.3.15); – вектор-столбец с компонентами .