Определение напряженного состояния прямоугольных анизотропных пластин в пространственной постановке (стр. 12 )

Перепишем систему (3.4.2), в обозначениях (3.4.9):

                        (3.4.10)

Обозначим: .                                          (3.4.11)

Тогда систему (3.4.10), которая удовлетворяет граничным условиям на гранях , можно переписать в векторно-матричном виде:

                                                                (3.4.12)

Здесь:

                                                (3.4.13)

                                        (3.4.14)

                                                                (3.4.15)

Две системы вида (3.4.12) по уравнений каждая с учетом условий (3.4.13) – (3.4.15) задают граничные условия на гранях  .

В случае свободных торцов при система (3.4.12) является однородной, то есть . В этом случае распределение напряжений всредине толстостенной пластины может быть обусловлено объемным внешним напряжением (например, собственный вес или сила инерции) с компонентами интенсивности .

На гранях могут быть заданы граничные условия двух типов: условия, которые соответствуют жестко закрепленному контуру и условия, которые соответствуют шарнирно опертому контуру. Аппроксимация этих граничных условий достигается путем подбора коэффициентов при сплайнах, через которые определяются функции  . Функции будем искать в виде:

                        (3.4.16)

                        (3.4.17)

Рассмотрим граничные условия на грани

Жестко закрепленный контур.

Этому случаю соответствуют условия:

        (3.4.18)

Определим из соотношения (3.4.1):

.

Поскольку , то :

. Тогда для выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.                                                          (3.4.19)

Из (3.2.1) имеем:

Последнее равенство вытекает из того, что .

Поэтому для выполнения условия (3.4.19) достаточно, чтобы хотя бы одно из значений не равнялось нулю. То есть, условия (3.4.18) могут быть заменены на условия:

                                                                (3.4.20)

А для выполнения условий (3.4.20) достаточно, чтобы выполнялась система:

                                                (3.4.21)

Для этого выберем коэффициенты:

                                                                                  (3.4.22)

С учетом того, что

                                                                                (3.4.23)

имеем:

Как видно, выбранные в форме (3.4.22) коэффициенты удовлетворяют системе (3.4.21), что автоматически тянет за собой выполнение условий (3.4.18). Поэтому для жестко закрепленного контура  функции примут вид:

                                                        (3.4.24)

                                                        (3.4.25)

Шарнирно опертый контур.

Этому случаю удовлетворяют условия:

        (3.4.26)

Из представленных выше рассуждений следует, что условие можно заменить условием . Для этого случая положим коэффициенты:

        (3.4.27)

  (3.4.28)

Для определенных согласно (3.4.27), (3.4.28) коэффициентов с условием (3.4.23) имеем:

Как видим, выбранные в форме (3.4.27), (3.4.28) коэффициенты позволяют удовлетворить граничным условиям  (3.4.26). Поэтому для шарнирно опертого контура функции примут вид:

                                                        (3.4.29)