Определение напряженного состояния прямоугольных анизотропных пластин в пространственной постановке (стр. 7 )

После замены в уравнениях (2.3.1) – (2.3.3) элементов матрицы жесткости на элементы матрицы упругой податливости имеем систему трех дифференциальных уравнений второго порядка  в частных производных, что описывает напряженно-деформированное состояние прямоугольной толстостенной ортотропной пластины:

  (2.3.4) 

Коэффициенты  определяются из соотношений (2.2.6).

Разрешающая система уравнений статики толстостенных анизотропных прямоугольных пластин с одной плоскостью упругой симметрии

Из систем (2.2.10),(2.2.1),(2.2.2) путем элементарных преобразований получаем разрешающую систему трех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, описывающую напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины:

 

                          (2.4.1)

 

Коэффициенты в системе (2.4.1) определяются механическими характеристиками материала с учетом соотношений (2.2.11).

На практике формулы для анизотропного тела с одной плоскостью упругой симметрии получаются из соотношений для ортотропного тела путем поворота системы координат на угол вокруг оси .

При этом коэффициенты матриц упругой податливости и в обоих случаях связаны между собой соотношениями:

  (2.4.2)

Система, описывающая граничные условия на нижней и верхней гранях пластины для случаев изотропного, ортотропного и анизотропного тел, записывается в виде:

                                        (2.4.3)

Где коэффициенты можно найти из соотношения:

.                                                         (2.4.4)

2.5  Разрешающая система уравнений статики толстостенных изотропных неоднородных пластин

В случае упругих параметров, зависящих от координаты , из соотношений (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3) путем элементарных преобразований получаем разрешающую систему трех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, описывающую напряженно-деформированное состояние изотропной неоднородной пластины:

  (2.5.1)

Где коэффициенты определяются исходя из упругих свойств пластины.

В случае неоднородности по третей координате система примет вид:

        (2.5.2)

В случае неоднородности по всем трем координатам система примет вид:

(2.5.3)

Выводы

В разделе 2 были получены следующие результаты:

Используя основные уравнения теории упругости, получены уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние изотропных, ортотропных и анизотропных толстостенных пластин с одной плоскостью упругой симметрии. Из общих уравнений получены системы, каждая из которых является системой трех разрешающих дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, описывающие напряженно-деформированное состояние толстостенных изотропных, ортотропных и анизотропных прямоугольных пластин. Представлена система, описывающая граничные условия на боковых гранях пластины. Таким образом, полностью сформулирована трехмерная краевая задача статики толстостенных прямоугольных пластин для случаев изотропного, ортотропного и анизотропного тела.

       

РАЗДЕЛ 3

РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИИ

3.1 Некоторые сведения о применении сплайн-функций

Пусть на отрезке [a, b] задана сетка . Обозначим через Pm  множество полиномов степени не более m, а через C(k)[a, b] – множество k раз непрерывно дифференцированных на [a, b] функций. Функция Sm, k(x) называется сплайном степени m  дефекта k (k – целое,  ) с узлами на сетке , если:

                  (3.1.1)

Из определения следует, что сплайн  Sm, k(x) имеет непрерывные производные до порядка m-k,  а  m-k+1 – ая производная может быть разрывной на [a, b].

Множество сплайнов, которые отвечают определению (3.1), обозначим через Sm, k().  Множество сплайнов степени m  дефекта 1 (при k = 1 ) обозначим через Sm(x).

Пусть кроме сетки на отрезке [a, b] задана сетка .

Сплайн  Sm(x) называется интерполяционным полиномиальным сплайном на сетке , который интерполирует функцию , если:

                  (3.1.2)

При этом узлы сетки называются узлами сплайна, а узлы сетки - узлами интерполяции.  Для сплайнов нечетной степени будем считать, что сетки і  совпадают.

Сплайн  Sm(x) из множества Sm() склеен в N – 1 узлах до m – 1 производной включительно N алгебраичных полиномов степеня m, поэтому у него есть N(m + 1) – (N – 1)m =N +m  свободных параметров. Поэтому множество всех сплайнов S(x) m-ой степени есть линейное конечномерное пространство размерности N+m.

В зависимости от выбора базисных функций возможно получить разное аналитическое отображение сплайнов.

Наиболее распространенным базисом в этом пространстве являются B-сплайны m-ой степени (i=-m, … ,N-1), то есть любой сплайн S(x) m-ой степени можно представить единственным образом в виде:

                       ,                                                 (3.1.3)                

где bi – постоянные, i – номер сплайна (сплайны нумеруются по левому узлу их носителей). B-сплайны нулевой степени на сетке Д определяются таким образом:

                               .                                         (3.1.4)

Для построения B-сплайнов степени m (m≥1) используем расширенную сетку Дґ. В частности, можно рассматривать сетку:

       Дґ: x-m < … < x-1 < x0 < x1 … < xN < xN+1 < … < xN+m.                         (3.1.5)