Определение напряженного состояния прямоугольных анизотропных пластин в пространственной постановке (стр. 5 )

В криволинейной системе координат положение какой-либо точки пространства однозначно определяется тремя числами , , . Эти величины, называемые криволинейными координатами, связаны с декартовыми координатами , , функциональными соотношениями

,  , .                                         (2.1.1)

Так как положение точки в пространстве является вполне определенным, когда заданы , , , то также имеют место обратные зависимости:

, ,                                                 (2.1.2)

где , , – однозначные функции параметров , , , непрерывные вместе со своими первыми производными.

В таких системах координат выражение для квадрата длины линейного элемента имеет вид:

                                                        (2.1.3)

Величины , , являются в общем случае функциями координат , , . Их называют коэффициентами или параметрами Ляме.

Параметры Ляме определяются следующим образом:

                                                                (2.1.4)

Перемещение точек при деформации тела под действием приложенных нагрузок характеризуется величинами , , , представляющими собой проекции вектора полного перемещения на направления касательных к координатным линиям , , соответственно.

Деформация тела описывается величинами , , , , ,. Первые три из указанных величин представляют собой относительные линейные деформации по направлениям координатных линий. Остальные величины являются относительными сдвигами, происходящими в касательных в рассматриваемой точке к координатным поверхностям плоскостях. Для составляющих деформации имеются следующие формулы, выражающие их связь с перемещениями, называемые геометрическими уравнениями:

                                        (2.1.5)

Напряженное состояние тела в принятой системе координат характеризуется величинами , , , , ,, ,, . Здесь , , - нормальные напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных координатным линиям , , соответственно. Остальные величины представляют собой касательные напряжения, действующие по указанным площадкам. Из закона парности касательных напряжений следует, что , , .

Уравнения равновесия пластины записываются в виде:

  (2.1.6)

Здесь ,,– проекции вектора объемных сил на направления касательных к координатным линиям , , .

Соотношения обобщенного закона Гука для анизотропного тела с одной плоскостью упругой симметрии  , содержащие 13 независимых упругих постоянных, запишутся в виде:

                                        (2.1.7)

Коэффициенты этой системы определяются из соотношений:

                        (2.1.8)

Здесь:

, ,   – модули упругости по направлениям , , соответственно;   –  модули сдвига для плоскостей, параллельных координатным плоскостям , , соответственно;  , ,,,,  – коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении вдоль осей координат;  ,  –  коэффициенты, которые характеризуют сдвиги в плоскостях, параллельных координатным плоскостям, обусловленные касательными напряжениями, которые действуют в плоскостях, касательных к другим координатным плоскостям;  , ,   – коэффициенты взаимного влияния, которые характеризуют сдвиги в координатных плоскостях, обусловленные нормальными напряжениями;  , ,   –  коэффициенты взаимного влияния, которые характеризуют удлинения, обусловленные касательными напряжениями.