Определение напряженного состояния прямоугольных анизотропных пластин в пространственной постановке (стр. 9 )

                (3.2.5)

Перепишем систему (3.2.4) в матрично-векторной форме:

                        (3.2.6)

где:

.

Обозначим:                                                                          (3.2.7)

.

Тогда система (3.2.6) перепишется в векторно-матричном виде:

                                                                        (3.2.8)

Где:

                                                (3.2.9)

                                                                                (3.2.10)

;

;

– ноль-матрица,  ;

– единичная матрица,  ;

                                                                        (3.2.11)

Таким образом, методом сплайн-коллокации по координатам x и y начальная задача, описанная системой (2.4.1), с соответственными граничными условиями на гранях сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2.8) с матрицами граничных условий на гранях , представленными в виде:

                                                                (3.2.12)

Где:

.                                                          (3.2.13)

Здесь:

В обозначениях (3.2.7), (3.2.11), (3.2.12) матрицы и векторы определяются исходя из соотношений (3.4.4), (3.4.9).

Эта задача решается методом дискретной  ортогонализации  Годунова.

Решение одномерных краевых задач методом дискретной ортогонализации

Ряд задач теории пластин, оболочек и теории упругости можно описать непосредственно при помощи обычных дифференциальных уравнений или свести к ним путем распределения переменных. К первой группе можно отнести, в частности, задачи про изгиб круглых пластин при осесимметричных направлениях, про осесимметрическую деформацию цилиндрических оболочек и вообще оболочек вращения, ко второй – задачи про изгиб прямоугольных пластин при шарнирном опирании противоположных граней, задачи статики оболочек вращения при неосесимметричных нагрузках и другое. Основные уравнения, которые описывают указанные группы задач, можно свести к системе обычных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши в виде:

                         (3.3.1)

с граничными условиями:

          (3.3.2) ,(3.3.3)

где  ­­­- вектор-столбец; - вектор-столбец правой части, - квадратная матрица порядка n; - заданные прямоугольные матрицы соответственно порядков   и ; - заданные векторы.

Допустим, что в ряде точек могут быть заданы дополнительные условия, которые накладываются на искомую функцию :

                           (3.3.4)

где   – неособенная квадратная матрица порядка n; –  n-мерный вектор. Таким образом, по сути рассматривается более общая краевая задача для системы уравнений (3.4.1). Граничную задачу (3.4.2)  –  (3.4.3) можно было бы решить просто путем сведения к ряду задач Коши, решения которых находится любым численным методом, например, методом Рунге - Кутта. В связи с тем, что при численном решении граничных задач теории оболочек имеют место граничные и локальные эффекты, которые вызывают быстрый рост искомых функций, метод сведения граничных задач к задаче Коши может привести к нестойкости вычислений. С математической точки зрения это означает: если собственные значения матрицы системы существенно отличаются по величине действительной части, то при интегрировании с возрастанием аргумента за счет потери значимых цифр система векторов-решений задач Коши становится практичесски линейно зависимой и поэтому нельзя с достаточной точностью при удовлетворении граничных условий на втором конце интервала определить постоянные интегрирования и сами искомые функции. Может случится, что в решении не останется ни одного правильного знака. Чтобы избежать указанных трудностей, разработан ряд методов, при помощи которых численное решение граничных задач сводится к устойчивому вычислительному процессу. Одним из таких методов, который хорошо зарекомендовал себя в практике решения задач теории оболочек, есть метод дискретной ортогонализации Годунова. Эксперименты показали эффективность, высокую точность, а также его простоту и удобство при численном решении рассматриваемого класса задач на ПК. Рассмотрим суть метода. Решение граничной задачи (3.3.1) - (3.3.3) будем искать в виде:

                          (3.3.5)

где (для определенности положим ). – решения задач Коши для системы уравнений (3.3.1) при  с начальными условиями, которые удовлетворяют граничным условиям на левом конце интервала (3.3.2),( 3.3.3) при ;  – решение задачи Коши для системы (3.3.1) с начальными условиями, которые удовлетворяют граничным условиям (3.3.2),(3.3.3); m равняется числу граничных условий на правом конце интервала интегрирования. Обусловленные требования можно выполнить. Граничные условия (3.3.2) в точке подадим в развернутом виде: