Определение напряженного состояния прямоугольных анизотропных пластин в пространственной постановке (стр. 6 )

2.2  Уравнения трехмерной теории упругости для изотропного,

ортотропного и анизотропного тела с одной плоскостью упругой симметрии

Рассмотрим уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние изотропного тела.

Уравнения равновесия:

                                                                (2.2.1)

где удовлетворяют закон четности касательных напряжений:

                                                       

Уравнения Коши:

       ,  ,  ,  ,  ,    (2.2.2)

Физические уравнения, которые выражают закон Гука:

                                                                (2.2.3)

Закон Гука в обратной форме:

                (2.2.4)

В случае ортотропного тела закон Гука примет вид:

                                                (2.2.5)

Матрицу   называют матрицей упругой податливости. Её элементы определяются через упругие постоянные:

                                        (2.2.6)

- модули упругости по направлениям соответственно.

- модули упругости для плоскостей, параллельных плоскостям 

соответственно.

- коэффициенты Пуассона, которые характеризуют поперечное давление при растяжении в направлениях осей координат; первый индекс характеризует движение сжатия, второй – направление действия силы.

Система уравнений (2.2.5) позволяет рассчитать деформации при известных напряжениях. В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях. Они выражают зависимость упругих постоянных от известных деформаций и носят название закона Гука в обратной форме и могут быть записаны в виде:

                                                        (2.2.7)

Матрицу   называют матрицей жесткости.  Её элементы определяются через элементы матрицы упругой податливости:

                        (2.2.8)

В случае анизотропного тела закон Гука примет вид:

                        (2.2.9)

Как видим, в соотношении (2.2.9) присутствует двадцать одна независимая постоянная. На практике, как правило, рассматривают тела, для каждой точки которых существует одна плоскость упругой симметрии, касательная к координатной поверхности .  В этом случае количество независимых переменных становится равной тринадцати,  и закон Гука для таких тел примет вид:

                                          (2.2.10)

Коэффициенты этой системы определяются из соотношений:

  (2.2.11)

               

Здесь:

, ,   – модули упругости по направлениям , , соответственно;   –  модули сдвига для плоскостей, параллельных коордтнатным плоскостям , , соответственно;  , ,,,,  – коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении вдоль осей координат;  ,  –  коэффициенты, которые характеризуют сдвиги в плоскостях, параллельных координатным плоскостям, обусловленные касательными напряжениями, которые действуют в плоскостях, касательных к другим координатным плоскостям;  , ,   – коэффициенты взаимного влияния, которые характеризуют сдвиги в координатных плоскостях, обусловленные нормальными напряжениями;  , ,   –  коэффициенты взаимного влияния, которые характеризуют удлинения, обусловленные касательными напряжениями.

Разрешающая система уравнений статики толстостенных ортотропных прямоугольных пластин

Выберем разрешающие функции .

Используя системы (2.2.5), (2.2.1), (2.2.2), можем провести ряд тождественных преобразований:

Из (2.2.2):

        (2.3.1)

Аналогично:

        (2.3.2)

Для того, чтобы получать уравнения относительно , будем делать следующие преобразования:

Из (2.2.1) имеем:

        (2.3.3)