Моделирование и системный анализ процессов причинения техногенного ущерба (стр. 25 )

- где - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы  для зарегистрированного количества происшествия и предпосылок к ним; - функции распреде­ления оценки случайного параметра потока происшествий, вели­чина которой найдена по формуле S14.7) - левое выражение.

Поскольку по условию решаемой задачи  для сужения довери­тельного интервала нужна априорная информация, то при определении функции распределения необходимо восполь­зоваться формулой Т. Байеса для непрерывных случайных вели­чин. В соответствии с рекомендациями [9] имеем

,  (14.9)

где - функция правдоподобия оценок Q, рав­ная условной вероятности появления ровно происшествий и предпосылок к ним за время, при условии, что значение оценки параметра их потока равно истинному; - неизвестное пока априорное распределение параметра потока ?, равное плотности вероятности действительного параметра потока происшествий и предпосылок к ним; z - случайный аргумент соответствующей функции распределения.

Заметим, что для пуассоновского распределения значение фун­кции правдоподобия определяется правой частью выражения (14.7), а ее случайный аргумент zравен .

Качественный анализ формул (14.7)-(14.9) свидетельствует, что в них используется априорная плотность , предвари­тельное определение числовых характеристик которой в принци­пе невозможно. Однако на головном объекте уже имеется модель­ная информация о предполагаемых значениях параметра потока происшествий и предпосылок к ним, которая и может быть ис­пользована для приближенной аппроксимации этой плотности. Та­кой шаг представляется более конструктивным по крайней мере в сравнении со стандартными правилами нахождения доверитель­ных границ для оценок пуассоновского распределения, которые составлены в расчете на отсутствие такой информации, т. е. исхо­дя из равномерного распределения плотности в пределах от минус до плюс бесконечности.

В предположении о примерно одинаковой точности а) модель­ного прогноза Q и б) статистической оценки этого же параметра стандартными методами при малом числе поясним, как можно объединить в формуле (14.9) два вида одной и той же ин­формации с целью интерпретации плотности более информативным (чем равномерное) распределением. Для этого апп­роксимируем вначале имеющуюся там функцию правдоподобия бета-распределенной случайной величиной, с параметрами масштаба т = 1 и формы l= + 1, а априорную плотность ­гамма-распределением с параметрами:

,  (14.10)

.  (14.11)

После подстановки этих аппроксимаций в выражение для фун­кции(14.9) и соответствующих преобразований может быть по­лучено ее следующее аналитическое выражение:

  (14.1 2)

где  - оценка параметра потока происшествий и дисперсия этой оценки, определяемые по методикам прогноза показателей безопасности (см., например, формулы (6.24) и (6.28), в предпо­ложении о равенстве параметров ? и Q); - гамма­ функция, числено равная значению факториала суммы .

Выражение (14.12) представляет собой гамма-распределенную случайную функцию с параметрами с' = + с и d' = [2(+ d)/2}- 1,которая может быть аппроксимирована распределением х - квад­рат со степенью свободы k= 2(х + с). поэтому, можно показать), что оценка параметра потока происшествий и предпосылок к ним выражается такой формулой:

       

= Х2/[2(? + d) + X2 - 2х ],         (14.13)

где Х2 - значение случайной величины, определяемой по табли­цам ?-квадрат распределения для конкретного значения степени свободы.

Кратко проанализируем полученные аппроксимации, а также изучим возможность их некоторого упрощения, учитывая разную размерность имеющихся в них параметров. Так, исследование вы­ражения (14.12) показывает, что информативность входящих в него распределений повышается в результате уменьшения их дисперсии, приводящего к росту числа степеней их свободы: с и d - для гамма, и k - для ?-квадрат. При этом величина такого роста определяется достоверностью результатов предварительной оценки уровня безопасности рассматриваемых работ, в частности, значениями парамет­ров с и d, зависящими от соотношения между оценками  .

Знакомство со значениями ?пр и D?, реально наблюдаемых в техносферных процессах, - см. также пример расчета ?пр = Qи D[Q] по формуле (6.35) - показывает, что обычно соблюдаются следующие условия:

  (14.14)

На этом основании можно считать: 1 – ? ? 1 и провести упро­щение выражений (14.10)-(14.11):

,  (14.15)

Анализ таблицы распределения ?-квадрат [33] позволяет упростить формулу (14.13), поскольку значение этой переменной имеет обычно тот же порядок, что и величина 2х = k - 2 (где k– число степеней свободы распределения). Поэтому для производственных и технологических процессов, характеризуемых сравнительно боль­шой длительностью времени., значение разности (Х2 - 2х) будет пренебрежимо мало в сравнении с величиной 2(? + d). Отсюда вытекает правомерность до пушения о примерном равенстве меж­ду 2(? + d) + Х2 - 2х и 2(?+ d), позволяющего упростить формулу(14.13) до такого вида:

(14.16)

Сделанные только что упрощения облегчают решение задачи по определению нижней и верхней доверительных границ для за­регистрированного на головном объекте числа . Найти значения соответствующих статистических оценок можно, например, ре­шив следующую систему уравнений, вытекающих из выражений(14.9) -(14.16):