Статистика (стр. 6 )

3.2.5. Абсолютное значение одного процента прироста

Пример 4.4:

Таблица 4.4

Рост производства товара «А» в РФ

Годы	Производство млн. т	Темп прироста за 5 лет (%) Тпрцi	Абсолютный прирост, млн. т Пцi	Абсолютное значение одного процента прироста, млн. т Аi = Пцi : Тпрцi
А	1	2	3	4
1995	71	-	-	-
2000	148	108	77	0,71
2005	243	64	95	1,48

По данным табл. 4.4 видно: несмотря на то, что во втором пятилетнем периоде темп прироста производства по сравнению с темпом прироста в первом пятилетнем периоде значительно снизился, однако один процент прироста во втором периоде в два раза «весомее» нежели в первом.

До сих пор мы рассматривали статистическое исследование с его количественной стороны, со следующей темы мы будем всё больше рассматривать его качественную сторону.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.  Дайте определение и назовите основные виды рядов распределения.

2.  Как определяется абсолютная плотность распределения?

3.  Что представляют собой ряды динамики?

4.  Назовите основные показатели динамики и как они определяются?

Лекция 5. Средние величины

1. Средняя величина как выражение закономерности.

2. Средние арифметические и средняя гармоническая.

3. Средние в рядах динамики.

4. Другие виды средних.

5. Заключение по теме.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика наблюдаемой статистической совокупности по какому-либо варьирующему признаку; она показывает уровень признака, отнесённый к абстрактной единице совокупности.

1. Средняя величина как выражение закономерности

1.1. Однородность и вариация массовых явлений

Пример 5.1:

1. Издержки производства одного и того же товара на разных предприятиях могут отличаться, но рынок усредняет их в абстрактные издержки, которые в основном и формируют рыночную цену товара.

2. Не в каждой семье взрослые дети выше своих родителей; но сравнение средних ростов поколений проявляет такую общую закономерность как акселерация.

3. Рассмотрим и проанализируем ряд совокупностей величин.

Генеральная совокупность: 10; 12; 20; 8; 3; 11; 9; 7; 6; 5. ∑ = 91.

Средняя величина = ; обозначим её так:

Отклонения индивидуальных величин () от (∆=-): 0,9; 2,9; 10,9; -1,1; -6,1; 1,9; -0,1; -2,1; -3,1; -4,1. ∑∆= 0.

Выборочная совокупность из генеральной совокупности пяти случайных величин: 20; 3; 6; 5; 7.

Средняя величина по выборочной совокупности = 8,2.

Просчитаем отклонения индивидуальных величин, представленных в выборочной совокупности от (∆=-), где j обозначает j-ую величину в выборочной совокупности: 10,9; -6,1; -3,1; -4,1; -2,1. ∑∆= -4,5.

Среднее отклонение: . Отсюда формула:

=+ ∆= 9,1 – 0,9 = 8,2. (5.1)

Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев дал следующий вариант закона больших чисел: «Чем больше объём однородной совокупности, тем полнее взаимное погашение случайных (по отношению к совокупности в целом, её законам) элементов признака х, тем полнее и надёжнее с большей вероятностью среднее значение признака измеряет действие общей для совокупности закономерности».

Однако, вариация (∆) является неотъемлемым свойством массовых явлений, без неё немыслимо развитие природы и общества, отсутствовали бы их эволюция.

1.2. Основные правила применения средних в статистике

♦ Требования качественной однородности совокупности, для которой выводится средняя величина.

Если средняя величина обобщает качественно однородные (подчинённые одному закону развития по концепции исследования) значения признака, то она является типичной характеристикой признака данной совокупности.

Однако статистика использует и средние величины, обобщающие явно не однородные значения признака, например, величина ВВП на душу населения в стране обобщает совершенно разные по производству и потреблению «души». Но этот показатель характеризует систему – государство в сравнении его с другими системами – государствами.

Нетипичные средние, характеризующие какой-либо объект как систему, называются системными средними.

♦ Требование массового обобщения фактов или опора на закон больших чисел.

♦ Использование наряду со средней, характеризующей совокупность в целом, групповых средних. На примере 4.1 мы видим, что многие хозяйства имеют резервы роста урожайности.

♦ Дополнение средних показателей рядами распределения, ибо в этом случае не утрачиваются индивидуальные значения признака, что важно для выявления тенденций развития явления.

2. Средние арифметические и средняя гармоническая

2.1. Средняя арифметическая простая

Пример 5.2 (табл. 5.1):

Таблица 5.1

Данные по заработной плате в звене рабочих за период времени (t):

Рабочие	Заработная плата, ден. ед. (хi)
Алексеев	1	5
Михайлов	1	6
Васин	1	6
Завьялов	1	4
Красивый	1	4
Итого рабочих	5	Итого зар. платы 25
Численность совокупности (nсов)	Общий объём признака в совокупности (Vсов)

Средняя заработная плата абстрактного рабочего рассчитывается по формуле:

, (5.2)

Заметим, что средняя величина распределила общий объём признака между единицами совокупности поровну:

(5.3)

где n – численность совокупности; xi – величина признака i-ой единицы совокупности.

Практическая формула расчёта простой средней:

(5.4)

2.2. Средняя арифметическая взвешенная

Пример 5.3:

Исходные данные примера 5.2 сгруппируем следующим образом (табл. 5.2):

Таблица 5.2

Заработная плата, ден. ед.	Численность (частота) по группам	Объёмы признака по группам, ден. ед.
xj	fj	xj × fj
5	1	5
6	2	12
4	2	8
Итого:	5	25
	Численность совокупности	Общий объём признака в совокупности

.

Таким образом, мы нашли среднюю заработную плату, как и в первом случае, делением общего объёма признака в совокупности на её численность. Общий объём признака получен так:

∑xj × fj = ∑wj, (5.5)

где wj – объём признака в группе j.

Численность совокупности рассчитана по следующей формуле:

∑fj = n. (5.6)

Примечание 5.1: слово «частота» заменено на слово «вес»: 5 ден. ед. «взвешено» один раз; 6 ден. ед. «взвешено» 2 раза …

Формулы для определения средней взвешенной:

(5.7)

или

(5.8)

Модернизированная формула:

. (5.9)

2.3. Средняя в интервальном ряду

Обратимся к примеру 4.1. В случае интервального ряда серединное значение каждого интервала (xj) принимается за среднее значение признака в этом интервале, то есть принимается гипотеза о равномерном распределении единиц совокупности по интервалам значения признака, то есть в каждом интервале:

(5.10)

(5.11)

Средняя в интервальном ряду определяется по тому же принципу, что и средняя взвешенность, но вместо индивидуальных величин признаков в каждом интервале берутся их серединные значения.

В том случае, когда в интервальном ряду имеются открытые интервалы, их следует искусственно и искусно закрыть.

Пусть в примере 4.1 добавился интервал «55 и более». По опыту известно, что в данной области максимальный урожай достигал иногда 62 ; добавим искусственный интервал «55 – 62», серединное значение которого

2.4. Средняя вторичных относительных величин

Пример 5.4:

Дана следующая статистика по промышленным предприятиям района «Р» (табл. 5.3):

Таблица 5.3

Номера предприятий	Общий объём продукции, ден. ед.	Доля товаров оборонного значения в объёме продукции по каждому предприятию
1	138	0,75
2	650	0,38
3	1040	0,12
4	219	0,64
Итого:	2047

Требуется найти среднюю долю товаров оборонного значения в совокупности продукции района.

Обратимся к формуле 5.2.

Для её применения необходимо решить следующие задачи:

● что считать за объем признака в совокупности и какова его величина;

● что приять за численность совокупности или по-другому за частоты признака по группам и каковы их значения.

Решение:

1. Так как итог по графе «3» не является содержательной величиной, то следует исчислить реальный объём оборонной продукции. По строке «1» он равен w1 = 0,75 × 138 = 103,5 ден. ед. Логично считать по этой строке величиной признака х1 = 0,75, а его частотой f1 = 138, то есть признак «0,75» 138 раз встречается в общей численности совокупности 2047.

Последовательно всем строкам wj = xi × fi :103,5; 247; 124; 140,2.

∑xi × fi = 614,7 ден ед. – это объём оборонной промышленности.

2. (5.12)

Таким образом, за величины признака по группам приняты их относительные величины, а за частоты – абсолютные значения тех величин, от которых исчислена их доля (процент).

Основным правилом при нахождении средних относительных величин является обязательное представление общего объёма признака в его абсолютном выражении.

2.5. Важнейшие свойства средней арифметической

■ Свойство 1: произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты:

(5.13)

■ Свойство 2: если от каждой варианты отнять какое-либо произвольное число А, то средняя уменьшится на то же число:

, (5.14)

где индекс «п» обозначает прежнее значение.

■ Свойство 3: если к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное число А, то средняя увеличится на это же число:

, (5.15)

или

, (5.16)

■ Свойство 4: если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число А, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз:

. (5.17)

■ Свойство 5: если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число А, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз:

. (5.18)

■ Свойство 6: если все частоты (веса) умножить или разделить на произвольное число А, то средняя арифметическая от этого не изменится:

, (5.19)

или

. (5.20)

Перед формулированием следующих свойств рассмотрим пример:

Пример 5.5:

Произведены следующие расчёты (табл. 5.4):

Таблица 5.4

Показатели Рабочие	Выработано продукции, шт.	Отклонения от средней арифметической	Квадраты отклонений	Отклонение от произвольного числа А = 4	Квадраты отклонения
х	d = хi -	d2	x - A	(x - A)2
A	1	2	3	4	5
Алексеев	5	0	0	1	1
Васильев	6	1	1	2	4
Бочкарёв	7	2	4	3	9
Ерофеев	2	-3	9	-2	4
Итого:	20	0	14	4	18

■ Свойство 7: сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равняется нулю – это значит в средней взаимно погашаются отрицательные и положительные отклонения вариант от средней: