Статистика (стр. 7 )

, (5.21)

(пример 5.5, гр. 2).

■ Свойство 8: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда меньше, чем сумма квадратов отклонений этих индивидуальных значений от любого произвольного числа А (сравнение итогов по гр. гр. 3 и 5):

(5.22)

2.6. Средняя гармоническая

Пример 5.6:

Данные по закупкам материала М предприятием П (табл. 5.5):

Таблица 5.5

Номер партий материала М	Стоимость партий, ден. ед. (wj)	Цена за 1 кг, ден. ед. (xi)
1	2	3
1-ая	500	5
2-ая	2000	10
3-яя	4500	15
Итого:	7000 (∑wj)

Требуется определить среднюю цену 1 кг закупленного материала.

Варианты решения:

1 вариант

На кажущуюся логичность этот вариант не верен, так как в знаменателе формулы (5.8) должна быть частота (численность) совокупности, а фактически был поставлен её общий объём, который был на предприятии так:

5 руб. × f1 (кг) + 10 руб. × f2 (кг) + 15 руб. × f3 (кг) = 7000 руб. = ∑wj.

А числитель в расчёте сильно завышен, потому что по группам вместо групповых частот подставлены групповые объёмы признака.

2 вариант

Определяем групповые численности (частоты) и общую численность совокупности:

= 600 (кг).

Средняя цена 1 кг товара равна =11,67ден. ед./кг.

Это верный вариант решения.

Формула расчёта средней величины признака, когда численность совокупности явно не выражена, а приведены только объёмы признака по группам и его общий объём по всей совокупности.

. (5.23)

Этот вид средней называется средней гармонической.

harmonia (греч.) – соразмерность.

2.7. Средняя степенная

Есть общая форма представления различных средних величин:

, (5.24)

где – средняя степенная; r – показатель степени; n – число наблюдений (численность совокупности).

При разных значениях r формула (5.24) приводит к следующим вариантам средних:

а) при r = 1 получается формула простой средней арифметической:

; (5.25)

б) при r = -1 – формула средней гармонической простой:

, (5.26)

т. е. средняя гармоническая простая получается из обратных значений признака;

в) при r = 2 формула средней квадратичной:

; (5.27)

г) при r = 0 (r → 0) получается формула простой средней геометрической:

. (5.28)

Примечание 5.2: формула (5.27) получается путём преобразования формулы (5.24) по правилу Лопиталя.

Если вариация усредняемого признака небольшая, то использование любой из этих формул приводит к мало отличающимся друг от друга результатам.

Пример 5.7:

Обратимся к примеру 5.2. Пусть заработная плата у всех рабочих одинаковая, равна 5 руб.

= 5 руб.

= 5 (руб.); = 5 (руб.);

= 5 (руб.).

При «ощутимой» вариации ранжирование средних, получается, по возрастанию r (правило мажорантности):

. (5.29)

По данным примера 5.2:

Применение той или иной формулы средней степенной зависит от содержания усредняемого признака.

Из степенных средних в статистике наиболее часто используется средняя арифметическая, реже – средняя гармоническая; средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая – только при исчислении показателей вариации.

3. Средние в рядах динамики

3.1. Пример 5.8:

Таблица 5.6

Данные по саду:

Количество деревьев, шт.	Годы и периоды
1990	1991	1992	1993	1994
На конец года	100	110	130	100	120
Посажено с конца i-го по конец (i + 1) года	20	25	10	30

В табл. 5.6 два ряда динамики: моментный и периодический.

3.2. Средняя в рядах динамики с равными промежутками времени

♦ Средняя для периодического ряда ():

, (5.30)

где уj – уровень ряда за j-ый интервал; t – продолжительность всего изучаемого периода в единицах времени, принятых для измерения интервалов (год, месяц и т. д.).

В пример 5.7: =21,25 (саженцев).

♦ Средняя для моментного ряда с равными интервалами времени.

Для моментного ряда подсчёт средней как простой арифметической даёт не точный результат, так как в этом случае не учитываются изменения величины признака внутри периодов (между моментами).

Используется следующая формула:

, (5.31)

где n – количество моментов; j – период между моментами; – среднее значение признака внутри периода j (между моментами i и i+1):

. (5.32)

В примере 5.7: ; = 120; = 115; = 110;

Раскроем числитель формулы (5.31):

Преобразованная формула (5.31):

. (5.33)

3.3. Средняя для моментного ряда с неравными интервалами времени

♦ Способ учёта неравности интервалов.

Пример 5.9:

Предположим, что в примере 5.7 отсутствуют данные за 1991 год.

Средние моментного ряда по интервалам ()

и продолжительности интервалов

	2 года
	1 год
	1 год

Результат отличается от ранее рассчитанного (112,5), но так и должно было случиться, так как в моментных рядах точность средней уменьшается с увеличением величины интервалов между соседними датами.

Формула подсчёта абсолютной средней в моментном ряду динамики:

, (5.34)

где – средний уровень показателя между «i-1» и «i-м» моментными наблюдениями; tj – промежуток времени в принятых его единицах измерения между «i-1» и «i-м» моментами.

♦ Расчёт средней для моментного ряда с неравными интервалами, способом выделения интервалов, в течение которых их уровень изменялся несущественно.

Пример 5.10:

Данные по числу работников в цехе А предприятия N (табл. 5.7).

Таблица 5.7

Календарные периоды, в течение которых количество работников не изменялось, дни, сентябрь	Продолжительность в днях, ti	Списочное количество работников, yi	Количество человеко-дней, yi × ti
1 – 10	10	25	250
11 – 25	15	22	330
26 – 30	5	28	140
Итого:	30		720

Среднесписочное количество работников:

, (5.35)

где yi – уровень моментного ряда, сохраняющийся в течение промежутка ti.

Средние рядов динамики часто называются средними хронологическими.

Средняя хронологическая моментного ряда в принципе исчисляется, как средневзвешенная арифметическая величина (формула (5.7) и (5.8)); индивидуальные значения признака (xi) представляют индивидуальные уровни ряда (yi), а частоты (fi) представляют промежутки времени в принятом их измерении.

3.4. Средние темпы роста и прироста

Пример 5.11 (табл. 5.8):

Возьмём данные примера 5.7 и рассчитаем рост и прирост уровней динамики.

Таблица 5.8

Показатели	Годы
1990	1991	1992	1993	1994
Абсолютный прирост цепной (Пцi)	-	10	20	-30	20
Абсолютный прирост на конец всего периода	-	-	-	-	20
Цепные темпы роста	1,0	1,10	1,18	0,77	1,20

Расчёт среднего абсолютного прироста количества деревьев:

● Вариант I: .

● Вариант II: .

(5.36)

или , (5.37)

где – средний абсолютный прирост показателя (признака); Пцi – цепной абсолютный прирост за i-й интервал; S – число интервалов; yn – последний уровень изучаемого ряда; у1 – первый уровень изучаемого ряда; n – количество уровней.

Для вывода формулы расчёта следующего показателя произведём следующие выкладки и рассуждения:

, (5.38)

то есть произведение цепных темпов роста ряда равняется темпу роста за весь рассматриваемый период, или произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста.

Базисный темп роста является итоговой величиной этого признака.

Если итоговая величина признака образуется как произведение отдельных его вариант, то более точной средней является геометрическая.

Обозначим через Tpj.

Так как количество вариант темпов роста равно n-1, то:

. (5.39)

По примеру 5.10:

или .

Средний темп прироста определяется так:

. (5.40)

4. Другие виды средних

Средние арифметические и гармонические являются обобщающими характеристиками совокупности по тому или иному варьирующему признаку.

Вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака являются медиана и мода.

4.1. Mediana (лат.) – средняя (а лучше, серединная)

Медианой распределения называется такое значение признака, которое делит число единиц ранжированного ряда пополам таким образом, что в одной половине оказываются величины меньше величины медианы, а в другой – превышающие величину медианы.

♦ Расчёт медианы в ранжированном дискретном ряду.

Пример 5.12:

Имеются данные результатов измерения семи деталей одного предназначения (в сантиметрах): 0,6; 0,41; 0,79; 0,73; 1,24; 0,85; 1,46.

Требуется найти медиану.

Решение:

а) результаты измерения представим в виде ранжированного ряда:

х1; х2; х3; х4; х5; х6; х7

0,41; 0,6; 0,73; 0,79; 0,85; 1,24; 1,46

б) определяется номер медианы:

. (5.41)

В нашем случае № Ме = 4;

в) определяется величина признака, соответствующая медиане по её номеру. В нашем случае Ме = 0,79.

Продолжение примера 5.12:

Пусть варианты х7 нет, тогда № Ме = 3,5; значит она находится между 3-им и 4-ым признаками:

.

♦ Расчёт медианы для интервального вариационного ряда.

Пример 5.13 (табл. 5.9):

Таблица 5.9

Распределение 100 рабочих по длительности производственного стажа

Длительность производственного стажа в годах	Число рабочих	Кумулятивные частоты
х	f	∑f = s
0 – 2	4	4
2 – 4	23	27
4 – 6	20	47
6 – 8	35	82
8 – 10	11	93
10 – 12	7	100
Итого:	100

Требуется найти медиану по длительности рабочего стажа.