Статистика (стр. 8 )

Решение:

1)

Из ряда накопленных частот видно, что Ме располагается в интервале «6 – 8» (47 < 50,5 < 82).

2) Медиана определяется по следующей формуле:

, (5.42)

где хе – начальное значение медианного интервала; ie – величина медианного интервала; S(e-1) – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному; fе – частота медианного интервала.

Ме = 6 + 2 × (года).

4.2. Мода

Moda (фр.) – господство.

Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Пример 5.14:

100 рабочих на предприятии N распределяются следующим образом (табл. 5.10):

Таблица 5.10

Тарифный разряд	Число рабочих
1	1
2	3
3	12
4	50
5	18
6	16
Итого:	100

Модой данного ряда распределения является Мо = 4 (разряд).

В интервальном вариационной ряду мода определяется приближенно по следующей формуле:

, (5.43)

где – величина модального интервала (интервал, которому соответствует наибольшая частота); – нижняя граница модального интервала; – модальная (наибольшая) частота; – частота группы, предшествовавшей модальному интервалу; – частота группы, следующей за модальным интервалом.

По исходным данным примера 5.12:

= 6,77 (года).

5. Заключение по теме

Мы убедились в том, что средняя величина является обобщающей характеристикой определённой закономерности, присущей исследуемой статистической совокупности по заданному признаку. Но мы должны понимать и тот факт, что средняя величина может скрыть от исследователя сам характер процесса протекания этой закономерности.

Пример 5.15 (табл. 5.11):

Средняя и распределение вариант с указанием частот (выработка в штуках на 1 человека в день):

Таблица 5.11

Случай 1	Случай 2
х	f	x×f	x-	×f	x	f	x×f	x-	×f
2	1	2	-3	3	2	30	60	-3	90
3	5	15	-2	10	3	20	60	-2	40
4	30	120	-1	30	4	10	40	-1	10
5	60	300	0	0	5	50	250	0	0
6	30	180	+1	30	6	10	60	+1	10
7	5	35	+2	10	7	20	140	+2	40
8	1	8	+3	3	8	30	240	+3	90
Итого:	132	660		86		170	850		280

= 5 = 5

Графическое изображение отклонений вариант от средней (рис. 5.1)

x-

Рис. 5.1

Средние величины в обоих случаях одинаковы ( ), но отклонения от средней имеют различный характер:

■ в первом случае 120 единиц совокупности (60 + 30 + 30) из 132-х отклоняется от средней не более, чем на 1, т. е. 91 % членов ряда;

■ во втором случае отклонение не более 1 от средней имеют 70 единиц совокупности (50 + 10 + 10) из 170 единиц, т. е. только 41 % членов ряда.

Понятно, что в первом случае средняя характеристика более типична, нежели во втором.

Эта разница в типичности характеристики могла произойти:

● или из-за меньшей однородности 2-ой совокупности;

● или от воздействия на вариацию 2-ой совокупности более разнообразных факторов.

Поэтому средние характеристики следует дополнять показателями вариации признака. О них мы будем говорить в лекции 6.

Примечание 5.3: данные в табл. 5.11 по графам «х f» и «│х - │f» будут нужны для дальнейшего развития примера в следующей теме.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.  Какова роль средней величины в обобщении данных статистического наблюдения?

2.  Назовите основные правила применения средних величин в статистике.

3.  В чем заключаются особенности вычисления средних арифметических простой и взвешенной?

4.  Какие свойства средней арифметической вы знаете?

5.  Каковы особенности средней гармонической?

6.  Как исчисляются средние величины в рядах динамики?

7.  В чем заключаются особенности расчета медианы на основе дискретных и интегральных рядов динамики?

8.  Что такое мода и как ее исчислять?

Лекция 6. Показатели размера и характера вариации

1. Показатели вариации.

2. Внутригрупповая и межгрупповая дисперсии; правило сложения дисперсий.

3. Анализ характера распределения в вариационных рядах.

1. Показатели вариации

1.1. Размах вариации и средний модуль отклонения

Наиболее простым, но и менее надежным показателем является размах вариации (R):

R = xmax – xmin, (6.1)

где xmax – xmin – наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака. В примере 5.13 размахи вариации для обоих случаев одинаковы (6). Этот показатель улавливает только крайние отклонения, но не дает обобщающую характеристику распределения отклонений вариант от средней в совокупности. Более точным, но редко употребляемым, показателем является средний модуль отклонений ():

. (6.2)

Часто этот показатель называется отклонением средним линейным.

В примере 5.13 (шт); (шт);

Но математические свойства модулей не позволяют поставить их в соответствие с каким-либо из законов (формул) вероятности. Чаще всего в статистике, как меры вариации, используют средний квадрат отклонения (дисперсию), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

1.2. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации

♦ Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Disperus (лат) – рассеянный, рассыпанный.

Дисперсия генеральная – математическое ожидание (или средняя) квадрата отклонения величины (х) от её математического ожидания (или среднего значения ).

На дисперсии практически основаны все методы статистического исследования. Дисперсия (σ2) или средний квадрат отклонения рассчитывается так:

(6.3)

Для негруппированного вариационного ряда:

. (6.4)

Корень квадратный из дисперсии является средним квадратическим отклонением (σ):

. (6.5)

Для негруппированного вариационного ряда:

(6.6)

или

. (6.7)

Продолжение примера 5.14 (табл. 6.1):

Таблица 6.1

Случай первый ( f )	1	5	30	60	30	5	1
(x - )2	9	4	1	0	1	4	9
(x - )2 × f	9	20	30	0	30	20	9
∑ (x - )2 × f = 118
Случай второй ( f )	30	20	10	50	10	20	30
(x - )2	9	4	1	0	1	4	9
(x - )2 × f	270	80	10	0	10	80	270
∑ (x - )2 × f = 720

σ2 (1 случай) =