Теоретичний матеріал для самостійного вивчення предмету «Інформатика та компютерна техніка» для спеціальності 5. «Організація виробництва» (стр. 13 )

Змінною називається величина, що приймає різні числові значення.

Областю визначення змінної називається сукупність усіх числових значень, які вона приймає. Вона може складатися з одного чи кількох інтервалів та з окремих точок.

Взаємопов’язана зміна змінних називається функціональною залежністю.

При вивченні функціональної залежності між двома змін­ними вважають, що одна з них є незалежною змінною, якій можна надавати довільні значення з області її визначення, а друга – залежною від неї. Незалежна змінна називається аргумен­том, а залежна – функцією.

Н. І. Лобачевському належить наступне визначення поняття функції:

Змінна у називається функцією змінної x, якщо кожному значе­нню х, відповідає певне значення у.

Для скорочення запису застосовується символічне позначення функцій: у= f(x), S= j (t), u= F (u),…

Якщо функція від х позначена символом Р(х), то Р (а) позначає конкретне значення цієї функції при х=а.

Так, якщо Р (х)= x2+ 2х- 5, то

Р (3)= 32+2*3- 5= 10; Р (0)= -5; Р(а)= а2+ 2а-5.

Основними елементарними функціями називаються:

1) степенева функція у=хn;

2) показникова функція y=ax, a>0;

3) логарифмічна функція y= loga x, a>0;

4) тригонометричні функції y= sin x, y= cos x, y=tg x, y=ctg x, y=sec x, y=cosec x;

5) обернені триногометричні функції y=arcsin x, y =arccos x, y=arctg x, y= arcctg x.

Функції, що задані однією формулою за допомогою скінченого числа арифметичних дій та операцій, називаються елементарними. Наприклад:

;

Всі інші функції називаються неелементарними. Наприклад, неелементарною є функція, що визначається кількома різними формулами для різних інтервалів зміни аргументу:

Функція f(x), що має властивість f(x) = f(-x), називається парною, наприклад х2, cos x, а та, що має властивість f(x)=-f(-x), непарною, наприклад x3, sin x. Багато функцій є ні парними, ні непарними, наприклад, ax, .

Область визначення (існування) функції

Областю визначення функції називається сукупність усіх точок числової осі, в яких вона має певні дійсні значе­ння.

Для багатьох функцій областю визначення буде не вся числова вісь, а тільки її частина. Так, для функції обла­стю визначення є напіввідкритий інтервал; для функції область визначення складається з двох інтервалів: та .

Основні елементарні функції мають наступні області визначення:

· степенева функція у=хn з раціональним додатнім показником при непарному визначена на всій числовій осі , а при парному визначена в інтервалі ;

· показникова функція у=аx, а>0 визначена на всій числовій осі;

· логарифмічна функція у=logax, a>0 визначена в інтервалі

· тригонометричні функції y=sin x, y=cos x визначені на всій чи­словій осі;

· у=tg x, y=sec x визначені на всій числовій осі, окрім точок хk = (2k+1) ¤ 2, k=0, +1, +2, …;

· у=ctg x, y=cosec x визначені на всій числовій осі, окрім точок хk = k;

· обернені тригонометричні функції y=arcsin x, y=arccos x визначені на відрізку ;

· у=arctg x, y=arcctg x визначені на всій число­вій осі.

При знаходженні області визначення елементарної функції, заданої формулою Y=f(x), треба звертати увагу на такі елементи формули:

· на радикали парної степені — функція буде визначена тільки для тих значень х, при яких їх підкорінні вирази будуть невід’ємні;

· на знаменники дробових виразів – функція буде визначена тільки для тих значень х, при яких знаменники відмінні від нуля;

· на трансцендентні функції log x, tg x, ctg x, sec x, cosec x, arcsin x, arccos x, які визначені не всюди, а тільки при вказаних раніше значеннях свого аргументу x.

· якщо ці перечисленні елементи відсутні в формулі y=f(x), то областю визначення функції у буде вся числова вісь (за виключенням тих випадків, коли область визначення функції обмежується спеціаль­ними умовами задачі).

Максимум та мінімум (екстремум) функції

Значення функції f(x) в точці х0 називається максимумом (мінімумом), якщо воно є найбільшим (найменшим) у порівнянні з її значеннями в усіх достатньо близьких точках зліва та справа від х0.

Функція може мати екстремум (максимум чи мінімум) тільки в тих точках, які лежать в області визначення функції і де її похідна дорівнює нулю або не існує. Такі точки називаються критичними.

У відповідних точках графіка функції дотична паралельна до осі Ох (у¢ = 0), або осі ординат (у¢ = ¥).

На графіку функції (рис. 5.1) добре видно, що точками екстремуму є всі точки, де функція змінює свою поведінку та неперервна.

Точки х1 и х4, при переході через які аргумента х зростання функції змінюється на спадання, є точками максимуму, а точки х3 и х6, при переході через які аргумента х спадання змінюється на зростання, є точками мінімуму.

Так як поведінка функції характеризується знаком її похідної, то функція буде мати екстремум в тих точках, де її похідна змінює знак, а сама функція неперервна.

Звідси витікає наступне правило дослідження функції на екстремум

Щоб знайти точки екстремуму функції у=f(x), в яких вона неперервна, треба:

І. Знайти похідну у' та критичні точки, в яких у=0 або не існує, а сама функція неперервна, і які лежать в області визначення функції.

ІІа. Визначити знак у' зліва та справа від кожної критичної точки.

Якщо при переході аргументу х через критичну точку х0:

· у' змінює знак з + на – , то х0 є точкою максимуму;

· у' змінює знак з – на + , то х0 є точкою мінімуму;

· y' не змінює знака, то в точці х0 нема екстремуму.

Іноді легше досліджувати критичні точки, де у'=0, по знаку другої похідної, — замість правила IIа можна використовувати наступне правило:

IIб. Знайти другу похідну у'' і визначити її знак в кожній критичній точці.

Якщо в критичній точці х0, де у=0

· у'' > 0, то х0 -- точка мінімуму;

· у'' < 0, то х0 – точка максимуму;

· у'' = 0, то питання про наявність екстремуму в точці х0 залишається відкритим. Таку критичну точку, як і будь-яку іншу, можна досліджувати по правилу IIa.

Далі треба знайти екстремуми функції, тобто обчислити значення функції в знайдених точках екстремуму.

При дослідженні на екстремум деяких типів функцій можливі значні спрощення. Наприклад, якщо функція являє собою дріб з постійним чисельником або корінь з цілим додатнім показником.

Найбільше та найменше значення функції

Найбільшим значенням функції називається саме більше, а найменшим значенням – саме менше з усіх її значень.

Функція може мати тільки одне найбільше значення і тільки одне найменше значення або може не мати їх зовсім. Наприклад, в усій своїй області визначення функція sin x має найбільше значення, рівне одиниці, та найменше значення, рівне мінус одиниці; функції tg x та х3 не мають ні найбільшого, ні найменшого значення; функція –х2 має найбільше значення, рівне нулю, але не має найменшого значення; функція має найменше значення, рівне одиниці, але не має найбільшого значення ( рис. 5.2).

Знаходження найбільшого і найменшого значення неперервних функцій базується на наступних властивостях цих функцій:

1. Якщо в деякому інтервалі функція f(x) неперервна і має тільки один екстремум і якщо це максимум (мінімум), то він буде найбільшим (найменшим) значенням функції в цьому інтервалі.

2. Якщо функція f(x) неперервна на деякому відрізку [a, b], то вона обов’язково має на цьому відрізку найбільше та найменше значення. Ці значення досягаються нею або в точках екстремуму, що лежать всередині відрізка, або на границях цього відрізка.

Звідси витікає практичне правило для знаходження найбільшого або найменшого значення функції f(x) на відрізку [a, b], де вона неперервна:

· знайти критичні точки, що лежать всередині відрізку [a, b], і обчислити значення функції в цих точках. Обчислити значення функцій на кінцях відрізка, тобто f(a) и f(b).

· порівняти отримані значення функції: саме більше з них буде найбільшим значенням, а саме менше – найменшим значенням функції на усьому даному відрізку.

Оператор-функція

Оператор-функцію застосовують, коли необхідно багаторазово обчислювати функцію при різних значеннях аргументу, як, наприклад, при наближеному розв’язанні алгебраїчних та трансцендентних рівнянь різними методами. Вона дає змогу користувачеві самостійно задавати вид досліджуваної функції. Але використання цього оператору має свої особливості:

1. Оператор-функція DEF FN повинен бути розміщений до тих операторів програми, в яких є звернення до оператору-функції;

2. Оператор-функцію не можна розміщувати в області циклу FOR...NEXT.

Функція DEF FN може бути записана в блочній або в лінійній формі.

Лінійна форма

DEF FN ім’я[(параметри)]=вираз

Блочна форма

DEF FN ім’я[(параметри)]

[Оператори]

FN ім’я=вираз

[Оператори]

[ EXIT DEF]

[Оператори]

END DEF

Ім’я – назва змінної, до 40 знаків. Ім’я, комбіноване з FN, є назвою функції. Ім’я може мати знак визначення типу, який вказує на тип значення, що повертається;

Параметри – список змінних, розділених комами. При визові функції, значення кожного аргументу присвоюється відповідному параметру. Аргументи передаються по значенню. DEF FN не підтримує масиви, записи або символьні рядки фіксованої довжини в якості аргументів;

Вираз – вираз, що обчислює результат функції.

Зразок виконання завдання

На заданому відрізку [A, B] задана неперервна функція Y= F(X). Треба: знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [A, B] та вказати точки, де функція їх досягає. Прийняти у= х3-6х2+9х+4

Програма (Блок-схема представлена на рис. 5.3.)

' Лабораторна робота № 5

' Знаходження найбільшого й найменшого значення функції

'на заданому відрізку

CLS

INPUT "Вкажіть кінці відрізку A, B"; A, B

INPUT "Вкажіть крок Н зміни аргументу X: "; H

CLS

DEF FNY (X) = X ^ 3 - 6 * X ^ 2 + 9 * X + 4

X = A

Y = FNY(X)

МАХ = Y: МІN = Y

FOR X = A TO B STEP H

Y = FNY(X)

IF Y > MAX THEN MAX = Y: X1 = X

IF Y < MIN THEN MIN = Y: X2 = X

NEXT X

PRINT "Найменше значення функції MIN="; MIN; " досягається в точці X="; X2

PRINT "Найбільше значення функції MAX="; MAX; "досягається в точці X="; X1

END

Контрольні запитання

1. Сформулюйте визначення поняття функції.

2. Що таке область визначення функції.

3. Які точки називаються критичними.

4. Найбільше та найменше значення функції – що це?

Умовні цикли

Ви знайомі з умовними операторами та операторами циклів. Тепер ви дізнаєтеся, як задати цикл, який виконується при певних умовах.

Оператор WHILE...WEND

Оператор WHILE...WEND – управляючий оператор, що виконує блок операторів доти, поки вказана умова істинна.

Формат оператору WHILE...WEND наступний:

WHILE умова

(тіло циклу)

WEND,

де умова - логічний вираз;

(тіло циклу) - послідовність операторів.

Цей цикл управляється умовами, які можуть мати значення «істина» або «неправда». Доки умова має значення «істина», виконуються оператори, що стоять в тілі циклу. Якщо умова — «неправда», управління передається на перший оператор, наступний за WEND. Це ключове слово завжди повинно завершувати тіло циклу. Перед тим, як будуть виконуватися оператори, що складають тіло циклу, QBASIC визначає результат умови в рядку WHILE. Якщо умова має значення «істина», то виконуються оператори тіла циклу, після чого управління повертається на початок оператору WHILE, де знову перевіряється умова. Виконання операторів, що складають тіло циклу, будуть повторюватися доти, поки умова залишається істинною. Як тільки результат перевірки умови змінюється на «неправда», QBASIC обходить цикл і передає управління рядку програми, наступному за WEND.

Оператор WHILE...WEND працює аналогічно оператору FOR...NEXT. Різниця в тому, що в конструкції FOR...NEXT ви повинні визначити початкові та кінцеві значення до початку циклу. Після цього лічильник циклу пробіжить усі значення без вашої допомоги. На кожному кроці циклу QBASIC збільшує лічильник на величину кроку та перевіряє, чи не перебільшив лічильник кінцеве значення. Конструкцію WHILE...WEND ви застосовуєте тоді, коли ви не знаєте, скільки раз повинен повторюватися цикл. Щоб умова припинення роботи циклу будь-коли здійснилась, ви повинні самі змінювати значення змінної, що використовується у перевірці.

Оператор DO...LOOP

Оператор DO...LOOP – управляючий оператор, який повторює блок операторів, доки умова істинна, або коли вона стане неправдою.

Оператор DO...LOOP схожий на оператор WHILE...WEND, але він більш гнучкий і в цьому його перевага. Управляюча умова в даному випадку може бути розміщена як на початку циклу, так і в кінці. Таким чином, оператор має чотири різні форми запису:

Перевірка - вгорі

DO WHILE умова DO UNTIL умова