Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 10 )

Опасным сечением является сечение в заделке, так как в нем действуют наибольшие по величине Му и Вw (рис. 6.37 в, д). Нормальные напряжения от изгиба (рис. 6.37а) в точках 1 – 4 определяем по формуле:

. (6.182)

Тогда для точек 1 – 4 (рис. 6.38) получим:

В точке 1: x1 = 8,57×10-2 м,	= – 303,8×8,57 10-2 = – 26 МПа.
В точке 2: x1 = – 3,43×10-2 м,	= – 303,8×(– 3,43 10-2) = 11,94 МПа.
В точке 3: x1 = – 3,43×10-2 м,	= – 303,8×(– 3,43 10-2) = 11,94 МПа.
В точке 4: x1 = 8,57×10-2 м,	= – 303,8×8,57 10-2 = – 26 МПа.	(6.183)

По найденным значениям строим эпюру su = sz (рис. 6.38а).

Рис. 6.37. Построение эпюр поперечной силы Qx, изгибающего момента Му, момента чистого кручения М0, изгибно-крутящего момента Мw и бимомента Вw	Рис. 6.38. Построение эпюр нормальных напряжений sи и sw и их суммарной эпюры

Нормальные напряжения в точках 1 – 4 профиля от действия бимомента Вw вычисляем по формуле (6.66):

(6.184)

Тогда для точек 1 – 4 (рис. 6.38) получим:

В точке 1: = 1937×(– 64,8×10-4)= – 12,55 МПа.

В точке 2: = 1937×43,2×10-4= 8,37 МПа.

В точке 3: = 1937×(– 43,2×10-4)= – 8,37 МПа.

В точке 4: = 1937×64,8×10-4 = 12,55 МПа. (6.185)

По полученным данным (6.185) строим эпюру sw (рис. 6.38б). Суммарные нормальные напряжения в опасном сечении тонкостенного стержня от совместного действия изгиба и стесненного кручения вычислим путем сложения эпюр sz и sw по формуле:

s = sz + sw. (6.186)

Тогда для точек 1 – 4 (рис. 6.38) получим:

В точке 1: s1 = – 26 – 12,55 = – 38,55 МПа.

В точке 2: s2 = 11,94+8,37 = 20,31 МПа.

В точке 3: s3 = 11,94 – 8,57 = 3,57 МПа.

В точке 4: s4 = – 26+12,55= – 13,45 МПа. (6.187)

Суммарная эпюра нормальных напряжений s (6.187) приведена на рис. 6.38в.

6.8.2.3. Пример 2

Задан тонкостенный стержень длиной l = 1м с одним защемленным концом и другим свободным, нагруженный распределенной крутящей парой m (рис. 6.39а). Сечение стержня – составной двутавр с полками различной длины (рис. 6.39б). Толщина стенки полки d = 0,01м. Определить взаимный угол поворота концевых сечений Qmax, распределение касательных и нормальных напряжений по контуру сечения и длине стержня.

Определение положения центра изгиба

Для координат центра изгиба, согласно формулам (6.123), будем иметь:

(6.188)

В соответствии с рис. 6.25 и формулой (6.33) вычисляем секториальные координаты характерных точек 0, 1, 2,…,6 профиля (рис. 6.39):

;

(6.189)

Рис. 6.39. Составной двутавр с одной осью симметрии:

а – схема нагружения; б – параметры поперечного сечения

Определение момента инерции при чистом кручении Jd, секториального момента инерции Jw и секториального статического момента отсеченной части

Момент инерции при чистом кручении для двутавра определяем по формуле (6.5)

. (6.190)

При b = 0,2 м, d = 0,01 м по (6.190) получим Jd = 2 × 10-7 м4 .

Секториальный момент инерции вычисляем по формуле (6.58):

(6.191)

Секториальный статический момент отсеченной части сечения вычисляем по формуле (6.48):

(6.192)

Линейной эпюре w(S) (рис. 6.40а) соответствует параболическое распределение (6.192) (рис.40б). Наибольшее значение определятся в точках соединения стенки с полкой.

Для верхней полки по (6.192)

(6.193)

Для нижней полки

(6.194)

Рис. 6.40. Двутавр рис. 6.39б: а – секториальные координаты характерных точек сечения; б – секториальный статический момент отсеченной части сечения

Определение изгибно-крутильной характеристики k.

Приняв коэффициент Пуассона mП равным 0,3, изгибно-крутильную характеристику определяем по формуле (6.74):

(6.195)

При b = 0,2м и d=0,01м находим из (6.195):

k = 6,445 = 1,611м-1.

Определение угла закручивания Q , момента чистого кручения M0, изгибно-крутящего момента Mw и бимомента Вw.

Дифференциальное уравнение угла закручивания тонкостенного стержня открытого профиля имеет вид формулы (6.75):

.

Общий интеграл этого уравнения при m = const может быть представлен в виде

. (6.196)

В качестве граничных условий имеем кинематические условия для левого защемленного конца:

при z = 0, Q(0) = 0, Q¢(0) = 0; (6.197)

статические условия для правого свободного конца

при z = l , Bw(l) = 0; Mкр(l) = 0. (6.198)

Предварительно найдем производные от функции Q(z) (6.196):

; (6.199)

; (6.200)

. (6.201)

Воспользовавшись значениями производных (6.199) – (6.201) и используя формулы (6.64) и (6.70), получаем систему уравнений для определения постоянных интегрирования из (6.196):

(6.202)

Учитывая, что k2EJw = GJd из (6.74), из системы уравнений (6.202) находим:

(6.203)

Подставляя найденные значения постоянных интегрирования (6.203) в соответствующие формулы, находим:

– Угол закручивания:

. (6.204)

– Бимомент

. (6.205)

– Момент чистого кручения

. (6.206)

– Изгибно-крутящий момент

(6.207)

где .

При заданных d, b и l a = 0,721.

Приняв G = 8×1010 н/м2, получим по (6.204) – (6.207):

(6.208)

Предварительно разбив тонкостенный стержень по длине на 5 равных частей, найдем численные значения величин Q, М0, Вw и Мw (6.208), которые приведены в табл.6.3. По результатам табл. 6.3 строим эпюры Q, М0, Вw и Мw (рис. 6.41)