Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 3 )

Ребро элементарной площадки ds не получит приращения, так как оно совпадает с профилем поперечного сечения, который, согласно второй гипотезе, считается недеформируемым. Поэтому соответствующее удлинение равно нулю:

(6.20)

Исследуем теперь поворот элементарной площадки около точки М.

Согласно первой гипотезе об отсутствии сдвигов в срединной поверхности поворот площадки произойдет без искажения прямых углов между ее ребрами (рис. 6.9б).

Рис. 6.9. Перемещения элементарной площадки тонкостенного стержня

открытого профиля

Отсюда следует равенство углов (см. рис. 6.9б):

(6.21)

Приращения функций и и v из (6.17) равны:

(6.22)

Из рис. 6.9б значения углов (6.21) будут:

(6.23)

Или согласно равенству (6.21)

(6.24)

В равенство (6.24) входят две неизвестные функции и и v, которые необходимо определить. Пусть поперечное сечение при закручивании стержня повернулось вокруг некоторого полюса А (рис. 6.10а) на угол Q. Условимся считать положительным такой угол закручивания Q, при котором сечение поворачивается против хода частой стрелки, если смотреть на него из начала координат в положительном направлении оси z.

В соответствии с гипотезой о недеформируемости профиля сечения, последнее повернется как жесткий диск, при этом точка М перейдет в положение М2. Вследствие малости угла Q примем, что

(6.25)

Рис. 6.10. Деформации кручения контура поперечного сечения тонкостенного стержня открытого профиля

Проведем касательную в точке М (см. рис. 6.10а) и обозначим расстояние от полюса А до касательной через r, а угол ÐMAD — через b. Проектируя перемещение точки М на касательную, получим:

(6.26)

или с учетом равенства (6.25) перемещение

(6.27)

Имея в виду, что АМcosb = r, найдем:

(6.28)

Частная производная функции v по z с учетом того, что r не зависит от z, запишется в виде

(6.29)

В дальнейшем примем обозначения и т. д. Тогда

(6.30)

Подставляя найденное значение из (6.30) в равенство (6.24), найдем

(6.31)

Для получения функции и выполним интегрирование уравнения (6.31) по дуге s, учитывая, что Q' от дуги s не зависит. В результате имеем:

(6.32)

Так как здесь интегрировалась частная производная от и, то в правую часть выражения (6.32) введена функция u0(z), не зависящая от s. По своему физическому смыслу функция u0(z) выражает некоторую часть перемещения и, которая одинакова для всех точек сечения.

Произведение rds в уравнении (6.32) является удвоенной площадью элементарного сектора АМm, показанного на рис. 6.10б.

Обозначая эту площадь через dw, получим:

(6.33)

Рис. 6.11. Определение секториальной площади тонкостенного стержня

открытого профиля

Тогда уравнение (6.32) для перемещения u запишется в следующем виде:

(6.34)

где w определяет собой удвоенную площадь, например, сектора AM0M1 (рис. 6.11), образованного при вращении радиуса вектора АМ0 по ходу часовой стрелки вокруг полюса А. Величину w из (6.33) называют секториальной площадью. Конец радиуса вектора при образовании w перемещается по профилю сечения от начальной точки М0. Как видно из рис. 6.11, значение w для различных точек профиля зависит от расположения полюса А и точки М0.

Так, например, значение w, соответствующее точке М1, определится, как уже показано выше, сектором AM0M1, точке М2 — сектором AM0M2, а любой точке Мi — сектором AM0Mi.

Секториальную площадь w считают положительной, если при движении точки по профилю сечения от начала отсчета М0 соответствующий радиус-вектор вращается против хода часовой стрелки при взгляде на сечение в положительном направлении оси z.

Так, для точки М1 (см. рис. 6.11) w имеет отрицательный знак, а для точек М2 и Мi — положительный.

В связи с тем, что для каждой точки профиля секториальная площадь w имеет свое определенное значение и знак, величина (6.33) называется также секториальной координатой точки.

Беря частную производную функции и из (6.34) по z с учетом того, что w от координаты z не зависит, и, подставляя в равенство (6.19), получим:

(6.35)

Зависимости (6.2) и (6.34), найденные в результате анализа упругих деформаций стержня, служат теми дополнительными уравнениями совместности деформаций, которые позволяют вместе с уравнениями статики установить закон распределения и величину напряжений, а также и соответствующих им внутренних силовых факторов при стесненном кручении.

6.4.3. Закон распределения нормальных и касательных
напряжений в сечении стержня

Рассмотрим элементарную площадку, выделенную в окрестности произвольной точки М срединной поверхности (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Элементарная площадка срединной поверхности

Допустим, что при стесненном кручении, так же как при изгибе и свободном кручении, отсутствует взаимное давление между продольными волокнами, т. е. sS=0.

Исходя из указанного допущения, согласно закону Гука

(6.36)

Подставляя в (6.36) вместо ez его значение из (6.35), получим

(6.37)

Для определения функции используем третье из равенств (6.15). Вводя в него значение sw из (6.37), имеем:

(6.38)

Имея в виду, что функции и не зависят от дуги s, выражение (6.38) можно записать в таком виде:

(6.39)

Из (6.39) найдем искомую функцию для (6.37):

(6.40)

Интеграл, входящий в числи, является геометрической характеристикой поперечного сечения стержня. По аналогии со статическим моментом площади, он обозначается через Sw и называется секториальным статическим моментом сечения. Измеряется Sw в сантиметрах в четвертой степени (см4), м4 и др.:

. (6.41)

Так же как и обыкновенный, секториальный статический момент Sw (6.41) произвольной площади может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Величина и знак его зависят от выбора начальной точки отсчета.

Так, если для сечения профиль которого изображен на рис. 6.13а, точку М0 расположить слева, то секториальные координаты w в соответствии с принятым для них правилом знаков будут положительными для всех точек сечения. Для удобства вычислений обычно строят эпюру w, в которой их значения откладывают по нормали к средней линии сечения.

Для данного случая такая эпюра изображена на рис. 6.13б.

При положении точки М0 справа все точки сечения будут иметь отрицательные w, а эпюра последних имеет вид показанный на рис. 6.13в.

Если точку М0 расположить в каком-либо промежуточном положении, то эпюра w будет двузначной (рис. 6.13г).

Из рассмотрения этих эпюр следует, что Sw для всего сечения при соответствующем выборе положения точки М0 может быть равен нулю. Условимся в дальнейшем так выбирать точку М0, чтобы

(6.42)

Тогда из выражения (6.40) видно, что и формула для нормальных напряжении (6.37) примет более простой вид: