Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 13 )

(6.239)

автоматически удовлетворяющих граничным условиям (6.238). Потребовав, чтобы базисные функции (6.239) удовлетворяли системе (6.222), в ряде точек поперечного сечения zj (j = 1, 2, …, n) получают систему алгебраических уравнений относительно неизвестных ai, bi, ci, решая которую находят перемещения x, h, q (6.239) и соответствующие внутренние усилия.

Задача об определении несущей способности стержня решается шаговым методом, при этом за несущую способность принимается такая нагрузка, при которой метод последовательных приближений начинает расходится, что соответствует появлению неустойчивого решения системы линеаризованных уравнений (6.222), связанного с явлением физической неустойчивости положения равновесия.

Физические свойства материалов стержней весьма разнообразны, их будем характеризовать диаграммами интенсивностей напряжений и деформаций si-ei, полученных экспериментально. При расчетах на ЭВМ может быть использована любая диаграмма si = si(ei), заданная аппроксимирующими функциями или в виде таблицы. Для определения границ распределения пластических зон по поперечным сечениям и по длине стержня используем условие пластичности Губера-Мизеса-Генки [318]. При предположении о несжимаемости материала в зонах пластических деформаций всегда имеется возможность находить зависимость si = si(ei) из диаграммы sz = sz(ez) при одноосном растяжении – сжатии и при практических расчетах представить условие пластичности в виде

sI = sz = sT; (6.240)

eI = ez = eT, (6.241)

где sz (6.231) с учетом (6.212) и (6.240) будет:

. (6.242)

Как показал анализ [320], для практических расчетов выражения для интенсивностей распределенных нагрузок (6.228) – (6.230) можно записать сохраняя только главные составляющие в виде

; (6.243)

; (6.244)

. (6.245)

Для стержней из идеального упругопластического материала дополнительные внутренние усилия Mxy, Myy, By определяются по формулам (6.237), в которых геометрические характеристики Ay,…,Jxy,… относительно главных центральных осей всего поперечного сечения стержня должны быть вычислены для сечений различной формы.

Рассмотрим стержень двутаврового поперечного сечения выполненный из материала, имеющего ясно выраженную горизонтальную площадку текучести, соответствующую диаграмме Прандтля.

Вначале требуется установить границы между упругими и пластическими областями в поперечных сечениях и определить расстояние Сm, (m =1,2,3,4), до границ упругого ядра в рассматриваемом поперечном сечении стержня (рис. 6.45), причем считаем Сm положительным, если соответствующая пластическая область (рис. 6.46) не пересекает ось oy.

Для нахождения границ распределения пластических деформаций по поперечному сечению двутаврового стержня используется условия пластичности (6.240) и (6.241). Тогда получим:

. (6.246)

После чего вычисляются геометрические характеристики для зон поперечных сечений (см. рис. 6.45), работающих за пределом упругости:

;

;

Рис. 6.45. Упругопластическое нагружение двутаврового тонкостенного стержня	Рис. 6.46. Диаграмма Прандтля sz = sz(ez) материала двутавра (рис. 6.45)

;

;

;

;

;

;

;

. (6.247)

Аналогичное решение получим для стержня коробчатого (замкнутого) поперечного сечения. Пусть материал коробчатого стержня (рис. 6.47) подчиняется диаграмме Прандтля (см. рис. 6.46).

Определим границу упругой области для стенки аналогично (6.246) на границе sуп = sТ:

.

Рис. 6.47. Коробчатый стержень замкнутого поперечного сечения	Рис. 6.48. Зоны поперечного сечения коробчатого стержня, работающие за пределом упругости

Тогда

. (6.248)

Определим границу упругой области для полки Сn:

.

После чего

. (6.249)

Тогда для коробчатого сечения (см. рис. 6.47, 6.48) геометрические характеристики, входящие в формулы в (6.237) для зон поперечных сечений, работающих за пределом упругости (6.248), (6.249), следует определять по формулам:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

(6.250)

Дополнительные внутренние усилия определяются по формулам (6.237), а интенсивности дополнительных нагрузок – по формулам (6.245).

6.9.5. Расчет пространственных металлических конструкций кранов за пределом упругости методом конечных элементов

Методика расчета упругопластических стержней и расчет сложных пространственных стержневых систем с помощью деформационной матрицы жесткости (6.256) по методу конечных элементов (МКЭ) [60, 192, 199, 225, 320, 321] позволяют перейти к расчету таких систем за пределом упругости. При этом термин "стержень" необходимо заменить на термин "стержневая система" [320, 322].

При расчете стрежневой системы за пределом упругости матричное уравнение (6.251) примет вид

(6.264)

где {Ry} – вектор порядка n = 7u дополнительных грузовых членов, сформированный из (6.237), возникающий за счет развития пластических деформаций в сечениях стержней, примыкающих к каждому узлу.

Таким образом, для каждого КЭ необходимо по всем степеням свободы его узлов приложить дополнительный вектор усилий, который с учетом (6.237) в местной системе координат oxyz имеет вид:

, (6.265124)