Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 1 )

Глава 6. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПОДЪЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ

6.1. Качественная характеристика тонкостенных стержней

Тонкостенные стержни нашли широкое применение в краностроении, машиностроении, строительстве, самолетостроении и т. д. в качестве элементов рам, ферм и т. п., а также и как самостоятельные элементы [60, 192, 225].

В тонкостенных стержнях рассматривают так называемую срединную поверхность, делящую во всех своих точках толщину элементов d, образующих стержень, пополам. След этой поверхности на плоскость, нормальной к оси стержня, представляет некоторую линию, называемую профильной линией или контуром поперечного сечения. Тонкостенные стержни подразделяются на стержни открытого и замкнутого профиля в зависимости от того, является ли профильная линия незамкнутой или замкнутой кривой. Стержень можно считать тонкостенным если выполняются условия:

(6.1)

где d – толщина стенки, d – ширина профиля, l – длина стержня.

Характер напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных стержней открытого профиля при воздействии на них внешней нагрузки существенно отличается от такового в тонкостенных стержнях замкнутого профиля. В соответствии с этим для каждого из двух типов тонкостенных стержней построена своя теория [312 – 315, 320].

Поведение тонкостенных стержней при нагружении существенно отличается от брусьев сплошного поперечного сечения, в особенности в случае открытого профиля. Так стержни открытого профиля при свободном кручении имеют малую крутильную жесткость; при этом закручивание сопровождается сильным искажением плоскости поперечного сечения, называемым депланацией. Если, например, сравнить углы закручивания трубы замкнутого профиля и незамкнутого профиля при свободном кручении, то при отношении толщины к диаметру как 1/10 труба открытого профиля закручивается приблизительно в 300 раз больше.

Если деформация стержня стеснена, например, если один из торцов стержня открытого профиля прикреплен к массивной плите либо жесткому узлу, то депланация поперечного сечения стержня при движении от свободного торца к противоположному заделанному торцу уменьшается и в заделанном торце вовсе равна нулю – сечение остается плоским. Уменьшение депланации – это увеличение степени стеснения деформации, состоящей в уменьшении перемещения точек поперечного сечения стержня в направлении, параллельном его оси. Вследствие стеснения депланации в поперечных сечениях стержня возникают самоуравновешенные нормальные напряжения, а крутильная жесткость возрастает в несколько раз. Такой вид кручения называется стесненным. Поскольку кручение тонкостенного стержня открытого профиля сопровождается изгибом некоторых элементов, например, полок двутавра, такую деформацию называют изгибным кручением.

Депланация замкнутых профилей значительно меньше депланации открытых профилей. Из замкнутых тонкостенных профилей не депланируют такие профили, как круг, квадрат, и вообще все профили со стенкой постоянной толщины, у которых средняя линия представляет многоугольник, описанный около круга.

Рассмотрим отдельные вопросы, связанные с кручением тонкостенных стрежней. При этом следует учитывать, что расчет на изгиб и растяжение-сжатие таких стержней осуществляется также, как и массивных стержней.

6.2. Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Свободным кручением называют такое кручение, при котором депланация всех поперечных сечений стержня будет одинаковой.

Так, на рис. 6.1а, б показан стержень, нагруженный на концах моментами и работающий в условиях свободного кручения. В таком стержне расстояние между двумя произвольными точками m и n, лежащими на любой образующей, до и после деформации остается неизменным.

Отсюда вытекает, что на любом участке стержня все продольные волокна сохраняют свою первоначальную длину, а их относительные удлинения и укорочения равны нулю (eZ=0). Поэтому в поперечных сечениях такого стержня возникают лишь касательные напряжения, а нормальные отсутствуют.

Вначале рассмотрим свободное кручение тонкой полосы прямоугольного поперечного сечения. Такая полоса представляет собой простейший тонкостенный стержень открытого профиля и может рассматриваться как отдельный элемент более сложных открытых профилей (двутавра, швеллера и др).

Рис. 6.1. Свободное кручение тонкостенного стержня

Методами теории упругости было установлено, что при кручении полосы имеющей прямоугольное сечение поток касательных напряжений в поперечном сечении направлен по замкнутым кривым, как показано на рис. 6.2а. На рис. 6.2б показана соответствующая эпюра касательных напряжений.

Рис. 6.2. Эпюры касательных напряжений в тонкостенных стержнях

Максимальные напряжения возникают в точках, лежащих в середине длинной стороны h у грани сечения и определяются следующей формулой (см. рис. 6.2):

. (6.2)

Угол закручивания Q полосы находится из дифференциального уравнения

. (6.3)

В формулах (6.2) и (6.3) обозначены:

М0 – момент чистого кручения;

d – толщина поперечного сечения полосы;

G – модуль сдвига;

Jd – геометрическая характеристика сечения, выполняющая ту же роль, что и полярный момент инерции для стрежней с круглым поперечным сечением. Эта характеристика для узкой полосы (см. рис. 6.2а) будет:

. (6.4)

В стержнях, состоящих из нескольких узких полос прямоугольного сечения, поток касательных напряжений направлен также по замкнутым кривым (рис. 6.2в). С достаточной для практики точностью можно считать, что в таких профилях поток касательных напряжений состоит из ряда замкнутых контуров, как это показано для двутавра на рис. 6.2г. При этом распределение напряжений по толщине сечения принимается по линейному закону (рис. 6.2д). Таким образом, на средней линии элементов сечения касательные напряжения равны нулю. Максимальное значение напряжения (6.2) приобретают в элементах с наибольшей толщиной d и в точках, наиболее удаленных от средней линии и расположенных посередине длинных сторон элемента. Формула для определения tmax имеет тот же вид, что и (6.2), но величина Jd в ней, а также в формуле (6.3) в данном случае вычисляется по формуле

, (6.5)

где hi – длина каждой части, измеряемая по средней линии; di – толщина той же части.

Коэффициент a в формуле (6.5) по данным опыта принимается для прокатных профилей по табл. 6.1:

Таблица 6.1

Коэффициент a для формулы (6.5)

№ п/п	Вид прокатного профиля	Коэффициент a
1	Двутавр	1,20
2	Тавр	1,15
3	Швеллер	1,12
4	Уголок	1,0

Для сварного двутавра с ребрами жесткости в (6.5) a=1,5.

Для профилей, составленных из прокатных двутавров, швеллеров или уголков, соединенных между собой не более чем одним рядом заклепок или сварным швом по одной кромке, величина Jd определяется как сумма:

(6.6)

где – значения характеристик, вычисляемых для отдельных профилей по формуле (6.5).

6.3. Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

Для тонкостенных замкнутых профилей считают, что касательные напряжения по толщине стенки распределены равномерно и векторы t направлены параллельно средней линии (рис. 6.3а). Нетрудно показать, что касательные напряжения изменяются вдоль контура так, что произведение величины напряжения на толщину стенки d остается постоянным

. (6.7)

Рис. 6.3. Распределение касательных напряжений в стенках

тонкостенных стержней замкнутого профиля

Введем понятие погонного касательного усилия, равного равнодействующей элементарных касательных усилий, отнесенной к единице длины стенки:

(6.8)

Элементарные силы qds, при q=const, пропорциональные элементам ds, образуют замкнутый силовой многоугольник (рис. 6.3б). Как известно, если силовой многоугольник замкнутый, то система сил эквивалентна паре и величина момента пары М0 не зависит от полюса, взятого в плоскости пары для вычисления момента М0. Тогда имеем:

(6.9)

где

(6.10)

– удвоенная площадь, охватываемая срединной линией поперечного сечения (рис. 6.4); r и ds – см. рис. 6.3б.

Рис. 6.4. Срединная линия тонкостенного стержня замкнутого профиля

Из (6.9) следует:

(6.11)

и, следовательно, с учетом (6.8) напряжения (6.2) будут: