Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 2 )

. (6.12)

Угол закручивания Q определяем из выражения, аналогичного формуле (6.3)

, (6.13)

где

, (6.14)

– момент инерции при кручении.

Остановимся коротко на вопросе о кручении стержней многосвязного замкнутого профиля [314]. На рис. 6.4 в качестве примера показан трехсвязный профиль. Примем, что на участке АСВ толщина стенки постоянна и равна d1, длина дуги S1 и напряжение t1. Аналогично на участке ВDА: d2, s2, t2 и в переборке ВА - d3, s3, t3.

Приведем решение для напряжений (6.12) и угла закручивания (6.13) без вывода:

;

;

;

6.4. Математическая модель стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля

6.4.1. Основные понятия и определения

При стесненном кручении депланация в различных поперечных сечениях неодинаковая.

Если, например, тонкостенный стержень цилиндрической формы (см. рис. 6.1а) жестко заделать на одном конце, а к другому приложить закручивающий момент, то сечение в заделке останется плоским (депланация равна нулю). На свободном же конце депланация сечения будет наибольшей. В промежуточных сечениях депланация изменяется по некоторому закону: от нуля на заделанном конце до наибольшей величины на свободном конце. Так как перемещения точек разных сечений по длине различны, то появятся относительные удлинения волокон (ez ¹ 0) и в поперечных сечениях стержня возникнут не только касательные, но и нормальные напряжения (рис. 6.5).

Для изучения основных особенностей стесненного кручения рассмотрим двутавр, жестко заделанный одним концом. На рис. 6.5а изображена срединная поверхность такого двутавра в осях xyz, где z – продольная ось.

Представим момент внешних сил Мz в виде пары сил Т. Нетрудно установить, что под действием этих сил одновременно с закручиванием двутавра происходит и изгиб его полок в противоположных направлениях.

Разрежем мысленно двутавр в каком-либо поперечном сечении и отбросим ту его часть, к которой приложены силы Т. Эпюры нормальных напряжений в сечении оставшейся части двутавра имеют вид, показанный на рис. 6.5б. Обозначим эти напряжения через sw и будем считать, что они одинаковы по толщине полки d ввиду ее малых размеров (рис. 6.5в).

Рис. 6.5. Деформированное состояние тонкостенного стержня

открытого профиля

По напряжениям sw можно определить четыре равные силы Nw, образующие самоуравновешенную систему внутренних сил, возникновение которой является одной из главных особенностей стесненного кручения тонкостенных стержней. Эти силы не могут быть определены из условий равновесия рассматриваемой части двутавра. Из условия равновесия отсеченной части можно установить, что для данной системы сил должны удовлетворяться равенства:

(6.15)

Здесь x, y – координаты точки поперечного стержня в осях 0xyz; dA – элементарная площадь. Из (6.15) следует, что внутренние изгибающие моменты относительно обеих главных осей инерции сечения и продольная сила должны быть равны нулю.

В поперечном сечении двутавра возникают также касательные напряжения. Так как в исследуемом случае одновременно имеют место как деформации кручения, так и деформации изгиба, то, следовательно, в сечениях стержня возникнут две системы касательных напряжений, соответствующих указанным деформациям (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Две системы касательных напряжений в тонкостенном стержне

замкнутого профиля

К первой из них относятся напряжения, которые распределяются в сечении по закону свободного (чистого) кручения. Обозначим эти напряжения t0, а соответствующий им момент (6.9), называемый моментом чистого кручения, — М0. Последний можно представить себе как сумму моментов элементарных пар, составляющими которых служат касательные усилия, возникающие в сечениях стержня (рис. 6.6а). Определение напряжений t0, а также соответствующего им угла закручивания выполняется по формулам (6.2) и (6.3).

Касательные напряжения, относящиеся ко второй системе (см. рис. 6.6б), которые обозначим через tw, возникают в связи с тем, что нормальные напряжения sw в поперечных сечениях стержня неодинаковы.

Направления напряжений tw в полках двутавра будут взаимно противоположны (рис. 6.6б). Им соответствует момент, который называется изгибно-крутящим моментом и обозначается через Мw. Этот момент и момент М0 создают в сечении стержня внутренний крутящий момент Мкр, который уравновешивает момент внешних сил Мz.

Таким образом, внутренние силы в поперечных сечениях стержня при стесненном кручении приводятся к самоуравновешенной системе нормальных усилий, связанных с напряжениями sw, к моменту чистого кручения М0 и к изгибно-крутящему моменту Мw.

При этом условия равновесия для любой части стержня (см. рис. 6.5) дают единственное уравнение, которое устанавливает связь между внешними и внутренними силами:

Мz= Мкр= М0+ Мw. (6.16)

Отсюда следует, что для определения внутренних сил требуются дополнительные уравнения совместности деформаций, составление которых осуществляется так же как и для статически неопределимой задачи, на основе исследования упругих деформаций стержня.

Установим правило знаков для крутящего момента. Крутящий момент Мкр в рассматриваемом сечении стержня будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны его внешней нормали видим момент, направленный по ходу часовой стрелки (рис. 6.7а), и отрицательным, если тот же момент направлен против хода часовой стрелки (рис. 6.7б).

Рис. 6.7. Правило знаков для крутящего момента

6.4.2. Зависимости между деформациями тонкостенного стержня
и перемещениями точек его срединной поверхности

При построении теории расчета тонкостенных стержней на кручение принимаются две основные гипотезы. Первая из них состоит в том, что деформации сдвига срединной поверхности стержня принимаются равными нулю.

Иными словами полагается, что угол между двумя прямыми, одна из которых совпадает с образующей срединной поверхности, а другая ей перпендикулярна, не изменяет своей величины при закручивании стержня.

По второй гипотезе, профиль поперечного сечения считается жестким, или недеформируемым. Под этим понимается условие, согласно которого проекция поперечного сечения на плоскость, перпендикулярную оси стержня, в процессе деформации сохраняет постоянные размеры и форму.

В соответствии с этой гипотезой деформацию стержня можно представить как совокупность поворотов поперечных сечений на определенный угол вокруг некоторого полюса, при которых каждое поперечное сечение одновременно будет испытывать депланацию.

Для исследования упругих деформаций рассмотрим стержень с произвольным очертанием поперечного сечения, находящийся в условиях стесненного кручения. Так как напряжения sw одинаковы по толщине сечения d (см. рис. 6.5в), то достаточно определить их для точек срединной поверхности. Для этого необходимо исследовать перемещения точек, лежащих на срединной поверхности стержня, которая изображена на рис. 6.8.

Оси Оу и Ох приняты совмещенными с главными центральными осями инерции сечения, а ось Оz – с продольной осью стержня.

Возьмем на срединной поверхности произвольную точку М и выделим около неё элементарную площадку, одна сторона которой является элементом дуги ds, а другая, перпендикулярная ей, - dz. Положение точки М определится координатой xM и дугой sm, которая отсчитывается от некоторой начальной точки М0 на средней линии поперечного сечения, проходящего через исследуемую точку М. Кроме этого, положение точки М определяется координатами xМ, уМ и zm.

Общее перемещение элементарной площадки можно представить состоящим из поступательного перемещения и поворота вокруг точки М.

Рис. 6.8. Перемещения точек срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля

Обозначим перемещение точки М по образующей, т. е. вдоль оси Оz, через u, а по касательной к дуге s - через v. Очевидно, что каждое из этих перемещений является функцией координат z и s точки:

(6.17)

Обе функции (6.17) должны быть непрерывными, так как в процессе упругих деформаций цельность стержня не может быть нарушена.

При поступательном перемещении (рис. 6.9а) ребро Ма, равное dz, получит удлинение Ddz, которое в то же время будет и приращением функции и. Так как при переходе от точки М к точке а изменяется на dz только одна координата z, а другая s остается без изменения, то приращение данной функции зависит от одной частной производной

(6.18)

Отсюда относительное удлинение ребра Ма равно:

(6.19)