Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 15 )

6.10. Вероятностно-статистическая модель пределов текучести и выносливости сталей несущих металлоконструкций кранов

Предел текучести сталей является важнейшей характеристикой прочности. Если на диаграмме нет площадки текучести, то предел текучести определяется как s0,2, т. е. как напряжение, для которого остаточная деформация после разгрузки составит 0,2%.

Изменчивость или разброс для этой величины зависит от того, какое рассматривается множество. Изменением свойств в пределах одного стержня стреловой фермы чаще всего можно пренебречь. До длины 10 м коэффициент корреляции r достаточно точно можно считать равным 1. При больших длинах профили могут быть изготовлены из шихты разного состава. Еще больший разброс наблюдается для сталей, изготовленных на разных заводах. Очевидно, здесь влияет различие в технологии изготовления и контроле качества стали [304, 305].

При назначении стандартного отклонения или коэффициента вариации как исходных данных для решения задачи безопасности следует учитывать эти обстоятельства и оценивать их в соответствии с целями исследования. Если, предположим, исследования проводятся с целью разработки национальных норм, то представляет интерес сталь всех заводов-изготовителей.

Коэффициенты вариации предела текучести, по данным различных источников, имеют следующие границы: один и тот же стальной профиль с одного завода n=0,01–0,04; различные профили с одного завода n=0,04–0,07; одинаковые профили с разных заводов n=0,05–0,08; различные профили с разных заводов n=0,06–0,12. Для стального листа эти значения составляют n=0,06–0,12.

Для высокопрочных сталей стандартное отклонение увеличивается, но, как правило, не так сильно как среднее, в связи с чем, коэффициент вариации падает. Для менее прочных сталей, принимают верхние из вышеприведенных значений коэффициентов вариации, а для высокопрочных – нижние. В качестве возможных типов распределения в литературе называют нормальное, логнормальное, урезанное нормальное, бета-распределение и экстремальное типа I*. Большинство гистограмм имеет положительный коэффициент асимметрии, что является следствием действия системы контроля качества, отбраковывающего низкосортную сталь. Вследствие этого всегда существует некоторое минимальное значение предела текучести. Поэтому кажется оправданным использование распределения с левой границей и не рекомендуется применять распределения, уходящие слева в бесконечность.

Предел прочности на 50% превосходит предел текучести для низколегированных сталей и на 10 – 25% для высокопрочных. Коэффициент вариации для предела прочности несколько меньше, чем для предела текучести. Для обоих пределов можно принимать одинаковые типы распределений. Между ними существует корреляция с коэффициентом около 0,75. Для модуля упругости Е (МПа) коэффициент вариации ν колеблется от 0,02 до 0,06.

При проверке на усталость важно знать положение линии Велера, которое существенно зависит от случайных параметров. При наличии концентраторов напряжений в металлоконструкции уменьшается как предел выносливости, так и угол наклона линии. По Квелю и Гайднеру, среднее значение предела выносливости снижается более чем в 3 раза для сильно подрезанных сварных соединений. Коэффициент вариации составляет около 0,07 для материала и 0,11 – 0,25 для сварных соединений. Среднее значение угла наклона линии Велера также сильно колеблется при резкой концентрации напряжений. Коэффициент вариации колеблется от 0,20 до 0,50 [306 – 308].

Характеристики, выражающие наиболее существенные особенности распределений, называются числовыми характеристиками случайных величин.

Для прерывных случайных величин пределов текучести sТ сталей математическое ожидание (МО) будет (sТ º R):

(6.267)

где Рi – вероятность случайной величины Ri из множества R. При вычислении дисперсии для прерывных величин sТ применяется формула

(6.268)

где МR – математическое ожидание случайной величины Ri. В практических расчетах используется среднее квадратическое отклонение случайной изменчивой величины

, (6.269)

размерность которого соответствует размерности случайной изменчивой величины sТ.

Нормальный закон распределения Гаусса – Далласа является наиболее употребительным на практике. Его главная особенность в том, что он является предельным, к которому стремятся при определенных условиях все другие законы распределения. Плотность вероятности нормального закона распределения описывается формулой:

. (6.270)

При определении вероятности того, что значение случайной величины Ri попадает в интервал, симметричный относительно точки МR используется функция Лапласа

(12.5)

где

.

В учебной и научной литературе составлены подробные таблицы значений функции (6.271).

Состав выборки n значений пределов текучести sТ сталей различных наименований и толщины для изготовления металлоконструкций кранов, испытанных в лабораторных условиях отечественных краностроительных заводов (АО «Сибтяжмаш», «Атоммаш» и др.) отличается по варьирующим признакам от состава всей совокупности образцов и это отличие составляет ошибку выборки:

, (6.272)

где – дисперсия выборки (см. формулу (6.268)); t – коэффициент доверия, показывающий с какой доверительной вероятностью F(t) гарантируются результаты выборочного исследования предела текучести, причем:

. (6.273)

Чаще, на практике, значения коэффициента доверия t в зависимости от вероятности (6.273) принимают по справочной литературе (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Значения доверительной вероятности F(t)

Коэффициент доверия t	0.1	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	2.6	3.0	4.0
Доверительная вероятность F(t)	0.0797	0.3829	0.6827	0.8664	0.9545	0.9876	0.9907	0.9973	0.9999

Исходя из нормального закона распределения, для каждого оптимального объема n выборки образцов с заданными интервалами толщины наряду с МО МR (см. (6.267)) определяют среднее значение выборки

, (6.274)

где Ri – значение предела текучести i испытуемого образца. В соответствии с законом больших чисел Бернулли можно считать, что для выборочной совокупности » МR. В дальнейшем, предполагая n достаточно большим, будем принимать = МR.

Если вероятность Pi случайных величин Ri неизвестны (см.(6.269)), то среднеквадратичное значение σR (см. (12.3)), следует определять по формуле

(6.275)

Коэффициент вариации с учетом (6.274) будет:

. (6.276)

С учетом ошибки (6.272), среднее значение (6.274) всей совокупности образцов примет вид:

. (6.277)

Значение (6.277) следует использовать для расчета риска Q аварийного отказа металлоконструкций кранов общего назначения, для которых приемлемый риск [Q] принимается близким к 10-3. Для высоконадежных металлоконструкций кранов (например, кранов АЭС), рассчитываемых в т. ч. на экстремальные нагрузки от взрывов и землетрясений, когда расчетные напряжения могут достигать предела текучести, а коэффициент запаса прочности приближается к 1.0, для которых [Q]10-5, всегда сохраняется риск того, что самый слабый элемент металлоконструкций крана подвергнется самой интенсивной нагрузке и, следовательно, произойдет его аварийный отказ. Чтобы максимально уменьшить риск для средних значений предела текучести (6.277), рекомендуется вводить его нижнюю и верхнюю границы с доверительной вероятностью 0,9973 (см. табл. 6.3)

, (6.278)

где t0,9973 = 3 (см. табл. 6.3). Это означает, что лишь около 0,3% всех образцов имеют значения предела текучести sТ, не учтенные данным интервалом.

После того, когда вычислены статистические характеристики R при наличии закона вероятностного распределения напряжений S, следует вернуться к расчетному значению аварийного риска отказа Qp по формулам (5.87) и (595), причем должно выполняться условие:

Qp < [Q], (6.279)

позволяющее с вероятностью

Р = 1 – Qр, (6.280)

сделать вывод о вероятности безаварийной работы металлоконструкций крана. При этом следует учитывать, что можно обойтись без Rmin и Ro, но необходимо иметь расчетное значение нагрузки S и функцию распределения сопротивления F(R), значение которой принимается при R = Smax (см формулу (5.95)).

Несущая способность элемента металлоконструкции крана является случайной величиной, так как она зависит от рассеивания механических характеристик конструкционных материалов и разброса размеров в пределах допуска на ее изготовление [308].