Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 7 )

где J1y, J3y – моменты инерции полок относительно оси у.

Для координат центра изгиба, согласно формул (6.104) и (6.106), будем иметь:

. (6.123)

Выражение aх = 0 в (6.123) показывает, что центр изгиба находится на оси симметрии. Расстояние aу от этого центра до точки В, отложенное на оси Оу в положительном направлении, определяется второй из формул (6.123). Для двутаврового профиля с одинаковыми полками, как профиля с двумя осями симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения:

(6.124)

Формула (6.124) следует из формулы (6.123), если в ней положить d1 =d3, d1 = d3.

Из формул (6.123) нетрудно получить формулы для координат центра изгиба таврового профиля. Для этого нужно площадь сечения одной из полок положить равной нулю. Если считать d3 = 0, то получим:

(6.125)

Если считать d1 = 0, то

(6.126)

Выражения (6.125) и (6.126) показывают, что в тавровом профиле центр изгиба лежит в точке пересечения стенки с полкой.

Определив центр изгиба для двутаврового профиля с полками разной ширины, мы можем теперь, пользуясь радиусом-вектором АnМ, построить эпюру главных секториальных площадей w (6.33). Эта эпюра приведена на рис. 6.25. Полюс Аn и начальная точка отсчета секториальной площади лежит на оси симметрии Оу. Эпюрой секториальных площадей w (см. рис. 6.25) выражен закон распределения по сечению дополнительных нормальных напряжений sw от изгибного кручения.

Формула (6.58) для секториального момента инерции принимает вид:

(6.127)

6.7.3. Вычисление геометрических характеристик поперечного сечения швеллера

Пусть d и d, соответственно, ширина и толщина стенки, а d1 и d1 – ширина и толщина полок корытного сечения швеллера (рис. 6.26). Центр изгиба Аn для такого сечения лежит на оси симметрии Ох. Нулевая секториальная точка находится на пересечении оси симметрии с профилем стержня. Расстояние aх от стенки до центра изгиба Аn определяется по формуле (6.104).

На рис. 6.27а приведена эпюра секториальных площадей wВ с полюсом В в точке пересечения стенки с осью симметрии Ох; на рис. 6.27б дана эпюра ординат у. Вычисляя приемами строительной механики определенный интеграл от произведения функций, представленных эпюрами wВ и у, и учитывая толщину полки d1, получим:

(6.128)

Рис. 6.25. Эпюра главных секториальных площадей w двутавра (см. рис. 6.23)

Рис. 6.26. Сечение швеллера	Рис. 6.27. Эпюры секторальных площадей (а) и ординат у от точек профильной линии сечения до главной оси инерции х (см. рис. 6.26)

Момент инерции Jx вычисляется как интеграл от квадрата ординат эпюры у по площади сечения А:

(6.129)

Подставляя выражения (6.128) и (6.129) в формулу (6.104) получим координату центра изгиба:

(6.130)

Эпюра главных секториальных площадей w, представленная на рис. 6.28, имеет кососимметричный вид относительно оси симметрии Ох. Началом отсчета площадей служит точка В, лежащая на оси симметрии. Секториальные площади для точек стенки, лежащих ниже оси Ох, будут иметь положительные значения, поскольку эти площади описываются движением радиуса-вектора АnМ по часовой стрелке. В точке примыкания полок к стенке секториальные площади достигают наибольших значений, что указывает на то, что при кручении наибольшие дополнительные напряжения будут возникать в углах швеллера.

Рис. 6.28. Эпюры главных секториальных площадей (а) и секториальных статических моментов швеллера (см. рис. 6.26)	Рис. 6.29. Зетовое поперечное сечение стержня

Секториальная площадь для полок сечения по мере удаления от стенки убывает по абсолютной величине и в точке С, находящейся от стенки на расстоянии, равном расстоянию от стенки до центра изгиба Аn, принимает нулевое значение.

Секториальный момент инерции Jw вычисляется как интеграл от квадрата ординат эпюры w (см. рис. 6.28а) по А. Пользуясь приемами строительной механики, получим:

(6.131)

где Jх – момент инерции (6.129).

На рис. 6.28б приведена эпюра секториальных статических моментов Sw.

6.7.4. Вычисление геометрических характеристик зетового сечения

Для определения центра изгиба в зетовом сечении с шириной и толщиной стенки d и d и полок d1 и d1 выберем вспомогательный полюс В в центре тяжести сечения (рис. 6.29). Начало отсчета секториальной площади возьмем в произвольной точке стенки профиля. Эпюры секториальных площадей wВ и координат х и у для контура сечения приведены на рис. 6.30 а, б, в. Вычисляя при помощи этих эпюр интегралы, входящие в формулы (6.104, 6.106), и имея в виду, что для полок эпюры знаки секториальных площадей одинаковы, а эпюры координат х и у отличаются только знаками, получим:

(6.132)

Рис. 6.30. Эпюры секториальных площадей (а) и координат х и у для контура зетового сечения (бв) (см. рис. 6.29)

Пользуясь выражением (6.130), можно установить, что для зетового сечения центр изгиба совпадает с центром тяжести.

Построим теперь эпюру главных секториальных площадей. Полюс А в центре тяжести сечения. Требуется эпюру w построить так, чтобы эта эпюра была взаимно нулевой не только с эпюрами х и у от изгиба, но также и с эпюрой от равномерного растяжения или сжатия.

Поскольку эпюра wВ, приведенная на рис. 6.30а, ортогональна с эпюрами х и у (риc. 6.30 б, в), остается теперь наложить на нее эпюру, соответствующую напряжениям от осевого растяжения (сжатия), и подобрать ординаты эпюры w так, чтобы секториальный статический момент Sw для всего сечения обратился в нуль (см. (6.42)).

Пусть точка полки М0, отстоящая от стенки на расстоянии t, служит началом отсчета секториальных площадей w. При таком выборе начальной точки эпюра секториальных площадей w будет иметь вид, показанный на рис. 6.31а. Ординаты этой эпюры являются линейными функциями параметра t, определяющего положение начальной точки М0. Подберем параметр t так, чтобы секториальный статический момент Sw для всего сечения обратился в нуль, т. е. чтобы

(6.133)

Раскрывая условие (6.133) при помощи эпюры изображенной на рис. 6.31а, по правилу Верещагина получим:

откуда

(6.134)

Рис. 6.31. Эпюры секториальных площадей (а) и секториального статического момента (б) зетового сечения (см. рис. 6.29)

Для секториального момента инерции (6.58) получаем формулу:

(6.135)

На рис. 6.31б приведена эпюра секториальных статических моментов Sw, характеризующих изменение секториальных сдвигающих усилий

, (6.136)

в зетовом поперечном сечении. На этом же рисунке 6.31б показаны равнодействующие сдвигающих усилий, подсчитанные на участках поперечного сечения по эпюре Sw. Эти равнодействующие приводятся к одному только изгибно-крутящему моменту Mw (6.59).

6.7.5. Вычисление геометрических характеристик коробчатого сечения с двумя осями симметрии

Размеры коробчатого сечения указаны на рис. 6.32а (d = const).

Основные зависимости теории расчета тонкостенных стержней замкнутого профиля, приведенные в п. 6.5, приведены к виду, для которого записаны расчетные формулы аналогичные применяемым в теории тонкостенных стержней открытого профиля. Это удалось осуществить путем введения понятия обобщенной секториальной координаты v (6.82), через которую выражаются все основные характеристики, необходимые для расчета коробчатого стержня при стесненном кручении [320, 321].

Рис. 6.32. Тонкостенный стержень коробчатого сечения: а – размеры сечения; б – эпюра секториальных координат; в – вспомогательная эпюра ; г – эпюра обобщенных секториальных координат