Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 12 )

(6.222)

В уравнениях (6.222) ax, ay – координаты центра изгиба (см. формулы (6.104) и (6.106)); Jx, Jy, Jw – главные осевые и секториальный моменты инерции поперечного сечения стержня с площадью А; Jk – момент инерции чистого кручения; βx, βy, βω – геометрические характеристики, определяемые по формулам:

(6.223)

(6.224)

(6.225)

. (6.226)

В уравнениях (6.222) qxψ, qyψ, mψ - интенсивности дополнительных распределенных нагрузок по длине участков стержня, претерпевающих пластические деформации (см. (6.228) – (6.230)). При линеаризации отдельных слагаемых системы (6.222) использованы дифференциальные зависимости, применяемые при расчете тонкостенных стержней по недеформированному состоянию [315, 316]:

. (6.227)

Начальные несовершенства и остаточные напряжения учитываются при численном интегрировании системы (6.222), а интенсивности дополнительных нагрузок, стоящие в правой части (6.222), вычисляются по формулам:

; (6.228)

; (6.229)

(6.230)

где Qzψ, Mxψ, Myψ, Bψ – дополнительные внутренние усилия, определяемые от разности напряжений:

упругих σz = Eεz, (6.231)

и действительных σi (6.212), определяемых из принятой диаграммы деформирования σi – εi (см. рис. 6.43); βxψ, βyψ, βωψ, Jxψ, Jyψ, Jωψ – общепринятые геометрические характеристики, вычисленные для пластических областей относительно главных центральных осей всего поперечного сечения тонкостенного стержня [320].

6.9.2. Внутренние усилия в поперечных сечениях тонкостенного стержня при упругопластических деформациях

Внутренние усилия, связанные с напряжениями σz (6.231), имеют вид:

(6.232)

где – соответствующие внутренние усилия, вычисленные по деформированной схеме, как для упругих стержней:

(6.233)

В выражениях (6.232) Bψ и Qzψ – дополнительные внутренние усилия, появляющиеся за счет развития пластических деформаций (6.213). При линеаризации нелинейных слагаемых в (6.233) использованы дифференциальные зависимости (6.227).

Рассмотрим случай, когда материал тонкостенного стержня металлоконструкции крана обладает идеальной упругопластической диаграммой деформирования (si – ei) Прандтля (см. рис. 6.43). Функция интенсивности деформаций функция (пластичности) из (6.212) примет вид:

, (6.234)

где eТ – относительная деформация, соответствующая пределу текучести материала стержня. Нормальные напряжения в поперечном сечении тонкостенного стержня представим в виде

, (6.235)

где – нормальное напряжение при относительном удлинении ez в случае идеального упругого процесса (6.231). Дополнительное напряжение, возникающее за счет развития пластических деформаций (6.234) (равное нулю в упругой области) будет:

. (6.236)

С учетом (6.234) дополнительные к (6.233) внутренние усилия из (6.232), появляющиеся за счет развития пластических деформаций будут:

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

(ж) (6.237)

Представление напряжений в виде (6.235) позволяет достаточно просто получить формулы для дополнительных внутренних усилий (6.237) и дополнительных нагрузок qxy, qyy и my из (6.228) – (6.230). Определение дополнительных внутренних усилий (6.237) в случае, если тонкостенный стержень выполнен из материала с упрочнением по произвольному закону, отличающемуся от рис. 6.43, например, при линейном упрочнении в пластической области, осуществляется с учетом соответствующего вида функции пластичности (6.234).

6.9.3. Граничные условия в задаче расчета несущей способности тонкостенных стержней металлоконструкций кранов

Закрепление отдельных стержней должно обеспечивать геометрическую неизменяемость пространственных металлоконструкций. Кинематические граничные условия для перемещений z, x, h и углов закручивания q тонкостенных стержней и их первых производных сохраняются такими же, как и при расчете по недеформированной схеме и зависят от способа прикрепления стержня к опорам. Однако статические граничные условия претерпевают изменения, связанные с переходом к расчету стержня по деформированной схеме и развитием пластических деформаций (6.234). Статические граничные условия вытекают из (6.232) после подстановки в них координаты zr граничных сечений:

(6.238)

Знак плюс в (6.238) принимаем для конца стержня, а знак минус – для начала. Mxr,…,Qzr – внешние силовые факторы, зависящие от способа передачи внешних нагрузок в граничных сечениях стержня. Упрощенный вариант граничных условий получится, если из (6.233) будут определены по формулам (6.227).

6.9.4 Деформационный расчет тонкостенных стержней при упругопластических деформациях

Изучение НДС тонкостенных стержней металлоконструкций кранов с учетом физической нелинейности материала осуществляется по деформированному состоянию с использованием нелинейных интегродифференциальных уравнений (6.222) и граничных условий (6.238). Для решения задачи наиболее приемлемым по точности результатов и затратам машинного времени ЭВМ оказывается итерационный процесс, основанный на линеаризации нелинейной краевой задачи (6.222) и (6.238) в комбинации с методом "упругих" решений [318], согласно которого в нулевом приближении все дополнительные нагрузки (6.228) – (6.230) полагаются равными нулю и проводится расчет упругого тонкостенного стержня по деформированной схеме. По найденным внутренним усилиям (6.233) определяются границы между упругими и пластическими областями поперечных сечений, вычисляются дополнительные внутренние усилия (6.237) первого приближения и уточняются граничные условия (6.238) и т. д. Процесс последовательных приближений заканчивается, как только разница между значениями интенсивности дополнительных нагрузок (6.237), полученных в двух соседних приближениях, достигает требуемой точности (±3%). По существу, метод последовательных приближений позволяет систему нелинейных интегродифференциальных уравнений (6.222) заменить набором линейных дифференциальных уравнений с постоянными в каждом k – приближении правыми частями , , (6.228) – (6.230). Полученная система уравнений решается методом коллокаций {317], сводящим систему линеаризованных дифференциальных уравнений (6.222) к системе алгебраических уравнений, решение которых осуществляется в виде линейной комбинации базисных функций