Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 5 )

(6.67)

Из рассмотрения приведенных выше формул (6.59), (6.64) следует, что определение Мw и Bw, а, следовательно, и напряжений tw и sw из (6.61), (6.66) не может быть осуществлено исходя только из уравнений равновесия.

Для вычисления всех указанных факторов требуется иметь уравнение угла закручивания

Q = f (z). (6.68)

Это обстоятельство также является одной из характерных особенностей расчета тонкостенных стержней, работающих в условиях стесненного кручения.

6.4.5. Дифференциальное уравнение угла закручивания стержня

Для составления уравнения угла закручивания стержня (6.68) используют условие (6.16), связывающее внешние и внутренние моменты при стесненном кручении (рис. 6.16):

(6.69)

где Мz – момент внешних сил относительно центра изгиба А стержня.

Рис. 6.16. Тонкостенный стержень под действием

распределенного крутящего момента

Подставляя в приведенное равенство (6.69) значение Мw из формулы (6.59) и значение М0 из формулы (6.3), найдем:

,

или

. (6.70)

Продифференцировав выражение (6.70) по z, получим:

(6.71)

Производная в правой части уравнения (6.71) представляет собой интенсивность т внешнего распределенного по стержню вдоль оси Оz крутящего момента (см. рис. 6.16):

(6.72)

Эту зависимость легко понять из условия, в соответствии с которым внешний момент на участке z может быть выражен так:

(6.73)

Разделим уравнение (6.71) почленно на EJw и введем обозначение для изгибно-крутильной характеристики тонкостенного стержня открытого профиля

(6.74)

После чего с учетом формулы (6.7253) получим дифференциальное уравнение угла закручивания тонкостенного стержня открытого профиля

(6.75)

6.5. Математическая модель стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого (закрытого) профиля

Дадим окончательные результаты без вывода [313, 320]. Дифференциальное уравнение стесненного кручения тонкостенного стержня замкнутого профиля имеет вид

. (6.76)

В формуле (6.76)

, (6.77)

– коэффициент депланации;

, (6.78)

– направленный полярный момент инерции;

Bw(z) – функция, называемая бимоментом, равным

(6.79)

где f(z) – функция, называемая мерой депланации;

(6.80)

, (6.81)

– секториальный момент инерции, (бимомент инерции).

В (6.76) mk – интенсивность внешнего распределенного крутящего момента, приложенного к стержню (см. аналогично рис. 6.16).

В формуле (6.81) в отличие от (6.33) v – обобщенная секториальная площадь (координата) тонкостенного стержня замкнутого профиля:

. (6.82)

В формуле (6.82): wk – удвоенная площадь ограниченная контуром сечения;

, (6.83)

– приведенная длина контура;

, (6.84)

– приведенная длина дуги контура.

Нормальные напряжения в тонкостенном стержне замкнутого профиля определяют по формуле аналогично (6.66)

. (6.85)

Касательные напряжения при стесненном кручении тонкостенного стержня замкнутого профиля определяются по формуле, аналогичной (6.61):

, (6.86)

где приведенный (обобщенный) секториально-статический момент сечения тонкостенного стержня замкнутого профиля определяется по формуле:

(6.87)

Крутящий момент стесненного кручения и относительный угол закручивания определяются из формул:

; (6.88)

, (6.89)

где f(z) – мера депланации тонкостенных стержней замкнутого профиля определяется по формуле (6.80); коэффициент m – см. формулу (6.77).

6.6. Математическая модель геометрических характеристик тонкостенных стержней

6.6.1. Определение положения центра изгиба Аn

Как было показано ранее, сечение стержня при кручении поворачивается как жесткий диск вокруг некоторого полюса в точке Аn, которую называют также центром кручения. При этом внешняя поперечная сила, например, сила Р (рис. 6.17) тем больше будет закручивать стержень, чем больший момент она создает относительно точки Аn.

Рис. 6.17. Положение центра изгиба тонкостенного стержня

Если сила Р проходит через точку Аn, то закручивающий момент равен нулю, а, следовательно, поворота сечений не произойдет и стержень будет испытывать только деформацию изгиба.

Поэтому полюс Аn, или центр кручения, является также и центром изгиба. Для определения координат центра изгиба Аn используем выражения (6.15), из которых получим:

; (6.90)

(6.91)

Первое выражение (6.90) после подстановки в него значений для sw из (6.66) запишется так:

(6.92)

Интеграл в левой части (6.92) называется секториально-линейным статическим моментом сечения относительно оси Ох и обозначается через Swх.

Новая геометрическая характеристика сечения (6.92) измеряется в сантиметрах в пятой степени (см5), м5 и др. Учитывая, что в (6.92), получим:

(6.93)

Выражение (6.91) после аналогичной подстановки в него sw, соответственно, дает:

, (6.94)

которое называют также секториально-линейным статическим моментом сечения относительно оси Оу.

Выражения (6.93) и (6.94) и будут теми условиями, которые позволяют определить координаты секториального полюса Аn (или центра изгиба).

Рассмотрим произвольное сечение (рис. 6.18), главные центральные оси которого совместимы с осями Ох и Оу . Подобно тому, как при отыскании центра тяжести берется произвольная ось и от нее определяется расстояние до центральной оси, выберем произвольный полюс В и положение центра изгиба будем определять относительно указанного полюса отрезками aх и aу (см. формулы (6.104) и (6.106)).

Наметим на профиле сечения любую точку т и проведем к ней касательную, угол наклона которой к вертикали обозначим через b. Элементарная секториальная площадь, определяющая секториальную координату точки т при полюсе В, равна

(6.95)

а при полюсе А

. (6.96)

Рис. 6.18. Вычисление координат центра изгиба тонкостенного стержня

Разность этих площадей можно выразить следующим образом:

(6.97)

или, выражая Dr через отрезки aх и aу, согласно рис. 6.18, получим:

(6.98)

Учитывая далее, что

и (6.99)

получим после сокращения на ds:

(6.100)

Интегрируя полученное равенство (6.100) и добавляя произвольную постоянную С, имеем:

(6.101)

откуда

(6.102)