Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 11 )

Таблица 6.3

Вычисление параметров (6.208)

Z, м	kz	shkz	chkz	×105
0.00	0.00	0.0000	1.0000	0.0000	0.0000	-0.3358	1.0000
0.20	0.322	0.3256	1.0523	0.0974	0.1259	-0.1714	0.6741
0.40	0.644	0.6894	1.2147	0.2929	0.1862	-0.0627	0.4138
0.60	0.966	1.1220	1.5040	0.5437	0.1994	-0.0027	0.2006
0.80	1.288	1.6748	1.9504	0.7856	0.1952	0.0202	0.0048
1.00	1.611	2.4014	2.6014	1.0260	0.1883	0.0000	-0.1883

Рис. 6.41. Расчетные значения угла закручивания Q, момента чистого кручения M0, изгибно-крутящего момента Mw и бимомента Вw в стержне (см. рис. 6.39а, б)

Определение нормальных и касательных напряжений.

Наибольшие касательные напряжения чистого кручения определяем по формуле (6.2)

.

Для сечения z = 0,6 м, где М0 = М0,max = 0,1994m, вычисления по (6.2) дают:

(6.209)

Касательные напряжения стесненного кручения определяются по формуле (6.61):

Для сечения z = 0 в заделке, где Мw = Мw, max = m, вычисления по (6.61) дают для середины верхней полки в точке 5 (см. рис. 6.39б):

(6.210)¢

Для середины нижней полки в точке 6 (см. рис. 6.39б):

. (6.210)¢¢

Нормальные напряжения стесненного кручения определяются по формуле (6.66)

.

В сечении у заделки (z = 0), где абсолютная величина бимомента максимальная (см. рис. 6.41д), в крайних точках верхней полки

. (6.211)¢

Для крайних точек нижней полки

(6.211)¢¢

где m – распределенный крутящий момент (см. рис. 6.39а).

6.9. Расчет несущей способности пространственных металлоконструкций грузоподъемных кранов

6.9.1. Деформационные интегро-дифференциальные уравнения равновесия тонкостенных стержней металлоконструкций кранов

Методика расчета сложных пространственных металлоконструкций (м/к) кранов из тонкостенных стержней с учетом развития пластических деформаций и определения несущей способности включает:

а) учет упругопластических свойств материалов при эксплуатационном нагружении;

б) составление и решение всех уравнений по деформированному состоянию.

Деформационные интегро-дифференциальные уравнения равновесия тонкостенных стержней, работающих за пределом упругости, позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) упругопластических стержней на всех этапах нагружения вплоть до исчерпания их несущей способности, причем на форму поперечного сечения стержней, а также на число и расположение пластических областей никаких ограничений не накладывается.

Уравнения равновесия стержней при упругопластических деформациях получены на основе следующих предпосылок [7, 320]:

1. Не учитывается влияние как касательных напряжений и сдвигов, так и нормальных напряжений (в силу их малости) в выражениях для интенсивности деформаций и интенсивности напряжений, где – напряжения действующие, соответственно, вдоль нормали и касательной к средней линии профиля (рис. 6.42).

Рис. 6.42. Тонкостенный стержень открытого профиля в условиях упругопластических деформаций

2. Материал в пластической стадии принимается несжимаемым (μП=0,5), причем .

3. Нагружение стержня считаем простым, а деформации активными.

4. Зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций имеет вид [318]:

(6.212)

где si – интенсивность напряжений; ei – интенсивность деформаций; y(ei) – функция пластичности, определяемая по опытным данным; E - модуль упругости 1-го рода. Для материала, обладающего идеальной упругопластической диаграммой деформирования (рис. 6.43), функцию пластичности запишем в виде:

, (6.213)

где eТ – относительная деформация, соответствующая пределу текучести материала (см. рис. 6.43).

Рис. 6.43. Диаграмма идеального упругопластического деформирования (диаграмма Прандтля)

Работа напряжений, совершаемая при переходе единичного объема стержня металлоконструкции крана из недеформированного состояния в деформированное, равна

(2.14)

где K – модуль объемной деформации, D – объемная деформация.

Согласно предположению о несжимаемости материала, второе слагаемое в формуле (6.214) следует положить равным нулю.

Тогда полная энергия деформации стержня будет [320]:

. (6.215)

Здесь – элемент объема стержня; – элемент его площади; – линейные размеры элемента.

На основании соотношения (2.212) полная энергия деформации (6.215) будет:

. (6.216)

Пусть на стержень металлоконструкции крана длиной l действует внешняя распределенная нагрузка qx, qy и qz, не изменяющая своего направления в процессе его деформирования. Тогда работа внешних сил будет:

, (6.217)

где ξс, ηс, ζс – перемещение точки С (ex, ey, ωc) вдоль осей х, у, z местной системы координат стержня, где через ex, ey, и ωc обозначены координаты линии, вдоль которой приложена распределенная нагрузка (рис. 6.44).

Рис. 6.44. Поперечное сечение тонкостенного стержня открытого профиля под действием внешней распределенной нагрузки

Работа касательных напряжений свободного кручения стержня:

, (6.218)

где

(6.219)

– приведенная жесткость свободного кручения; θ – угол закручивания [320]. В (6.219) равен:

, (6.220)

причем Si, Sj – криволинейные координаты начала и конца пластической зоны по контуру поперечного сечения стержня; n – число пластических зон; ν – опытный коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; N – число разбиений.

Осевое относительное удлинение εz является функцией производных от обобщенных перемещений ζ, ξ, η, θ, поэтому функционал полной энергии при «естественных» граничных условиях с учетом (6.216), (6.217) и (6.218) примет вид:

. (6.221)

Вариационный вывод деформационных интегро-дифференциальных уравнений равновесия тонкостенных стержней открытого и закрытого (замкнутого) профиля, работающих за пределом упругости, осуществляется из условия экстремума функционала полной энергии (6.221). Принятые предпосылки позволили получить сравнительно простую математическую модель (ММ) упругопластического деформирования тонкостенного стержня металлоконструкции крана. Уравнения изгиба в 2-х плоскостях и кручения имеют вид [320]: