Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 9 )

Числовые значения силовых факторов (6.163) и (6.164) будут:

кН×м2; (6.165)

Мw = 80 × 0,027 = 2,16 кН×м. (6.166)

Нормальные напряжения sw найдем по формуле (6.85) с учетом v по рис. 6.33е:

МПа, (6.167)

МПа. (6.168)

Эпюра sw показана на рис. 6.34в.

Касательные напряжения tw от изгибно-крутящего момента Мw (6.166) определяются по формуле (6.86):

.

Численные значения касательных напряжений tw в точках 1 – 4 (см. рис. 6.33а) будут:

МПа;

МПа;

МПа;

МПа. (6.169)

Эпюра касательных напряжений tw (6.169) показана на рис. 6.34г.

В заключение отметим, что по мере удаления от заделки, согласно формулам (6.157) и (6.158), Вw и Мw быстро уменьшаются. Уже в сечении на расстоянии 0,4м от заделки значения Вw и Мw составляют 37% от расчетных значений в заделке и уменьшаются более чем в 50 раз в сечении на расстоянии 1,7м от заделки (см. рис. 6.34а).

6.8.2. Расчет нормальных и касательных напряжений от стесненного кручения в тонкостенном стержнеоткрытого профиля

6.8.2.1. Пример 1

Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис. 6.35а, при следующих исходных данных:

Н = 12,5´10-2 м; В = 19´10-2 м; l = 2м; d = 1´10-2 м; P = 1 Kн;

Е = 2´105 МПа; G = 8´104 МПа, требуется:

Рис. 6.35. Швеллер в условиях стесненного кручения:

а – общий вид; б, в – поперечные сечения

1. Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

2. Найти положение центра изгиба;

3. Определить момент инерции при чистом кручении Jкр и секториальные характеристики сечения;

4. Вычислить изгибно-крутильную характеристику ;

5. Построить эпюры поперечной силы Qx, изгибающего момента Му, момента чистого кручения М0, изгибно-крутящего момента Мw, бимомента Вw;

6. Построить эпюры нормальных напряжений sи, sw и их суммарную эпюру.

Определение площади, положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции

Вычислим расчетные размеры сечения стержня, приняв в дальнейших расчетах:

d = 1´10 –2 м = const;

b = B – 2=19´10 –2 – 1´10 –2 = 18´10 –2 м;

h = H – =12,5´10 –2 – = 12 ´10 –2 м.

Тогда

= 1 ´ 10 –2 (18 ´ 10 –2 – 2 ´ 12 ´ 10 –2) = 42 ´ 10 –4 м2.

В выбранной системе координат х1 у1 (рис. 6.35б) определим положение центра тяжести сечения: ус = 0; .

Для этого построим эпюру координат у1 (рис. 6.36а) и вычислим статический момент сечения относительно оси у1:

.

Тогда координата центра тяжести сечения будет равна:

м.

Для вычисления главных центральных моментов инерции предварительно построим эпюры координат х и у (рис. 6.36б). С применением этих эпюр, определяются:

(6.170)

(6.171)

Определение положения центра изгиба.

Координату центра изгиба определяем по формуле (6.130):

м. (6.172)

В соответствии с рис. 6.28а и принятой системой координат вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля:

м2

м2

w3 = – w2 ;

w4 = – w1. (6.173)

По полученным координатам (6.173) строим эпюру w (рис. 6.36в).

Рис. 6.36. Эпюры координат у1 и х (а, б) и секториальных координат (в) швеллера (см. рис. 6.35)

Определение момента инерции при чистом кручении Jd и секториального момента инерции Jw.

Момент инерции при чистом кручении для швеллера определяем по формуле (6.5)

. (6.174)

Секториальный момент инерции Jw вычисляем по формуле (6.58)

м6. (6.175)

Определение изгибно-крутильной характеристики k

Изгибно-крутильную характеристику вычисляем по формуле (6.74):

. (6.176)

Построение эпюр поперечной силы Qx, изгибающего момента Му, момента чистого кручения М0, изгибно-крутящего момента Мw и бимомента Вw

Так как граничные условия точно такие же как в предыдущем примере 6.8.1, то бимомент и изгибно-крутящий момент определяются по формулам (6.157) и (6.158), полагая для стержней открытого профиля коэффициент депланации (6.77) m = 1,

(6.177)

(6.178)

Момент чистого кручения определим из условия (6.16):

Мw + М0 = Мкр = Р × е = const.

Тогда

(6.179)

В рассматриваемом примере е – эксцентриситет (рис. 6.35а):

Тогда для (6.177), (6.178) и (6.179) получим:

(6.180)

Предварительно разбив тонкостенный брус по длине на 5 равных частей, для этих сечений численные значения величин Qx, Му, М0, Мw, и Вw приведены в табл. 6.2.

По результатам табл. 6.2 строим эпюры Qx, Му, М0, Мw, и Вw (рис. 6.37). При этом в случае действия на брус сосредоточенной силы, во всех сечениях выполняется условие:

М0 + Мw = Мкр = Ре = const. (6.181)

Таблица 6.2

z, м	kz	shkz	chkz	Qx, Н	Мy, Нм	М0, Нм	Мw, Нм	Вw, Нм2
0.00	0.00	0.0000	1.0000	1000	0	80.97	14.03	0
0.40	0.52	0.5438	1.1383	1000	400	79.03	15.97	5.87
0.80	1.04	1.2379	1.5913	1000	500	72.67	22.32	13.37
1.20	1.56	2.2743	2.4845	1000	1200	60.14	34.86	24.50
1.60	2.08	3.9398	4.0674	1000	1600	37.96	57.04	42.56
2.00	2.60	6.6947	6.7690	1000	2000	0.00	95.01	72.32

Построение эпюр нормальных напряжений sи и sw и их суммарной эпюры