Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 6 )

Подставим в выражение (6.93) значение секториальной площади из уравнения (6.102), соответствующей искомому полюсу А, получим:

или

(6.103)

В связи с тем что оси Оy и Ох являются, по условию, главными центральными осями инерции, Jxy=0 и Sx = 0. Следовательно, координата ах центра изгиба Аn стержня будет:

(6.104)

При подстановке того же значения wА из (6.102) в условие (6.94) получим аналогично (6.103):

(6.105)

Здесь так же как и в (6.103) Jxy=0 и Sy = 0. Следовательно, координата ау центра изгиба Аn стержня будет:

(6.106)

В формулах (6.104) и (6.106) величины и представляют собой секториально-линейные статические моменты сечения (6.93) и (6.94), определяемые при расположении полюса в произвольной точке В. Поэтому эти формулы определяют положение центра изгиба А относительно точки В. При этом следует иметь в виду, что координаты aх и aу из (6.104) и (6.106) откладываются от полюса В с учетом их знаков, а именно: если они положительны, то их откладывают в положительном направлении осей Оу и Ох (см. рис. 6.18).

6.6.2. Определение главной секториальной нулевой точки М0

Ранее было установлено, что положение точки М0, являющейся началом отсчета w, связано с удовлетворением условия (6.42)

Возьмем за начало отсчета произвольную точку М' и, используя указанное условие (6.42), определим главную нулевую точку М0 (рис. 6.19).

Рис. 6.19. Определение положения главной секторальной нулевой точки М0

Если обозначить через w' секториальную площадь для текущей точки М при начале отсчета в М', а через w – секториальную площадь той же точки М при начале отсчета в М0, то, очевидно, будет иметь место следующее равенство:

(6.107)

где D – постоянная величина, равная удвоенной площади сектора АМ¢М0 (см. рис. 6.19). Подставляя теперь значение (6.107) в (6.42), получим:

(6.108)

или

(6.109)

откуда найдем постоянную D:

(см2, м2, др.). (6.110)

Таким образом, для определения положения нулевой точки М0 следует вначале построить эпюру w¢, взяв произвольную точку за начало отсчета. Затем необходимо вычислить по формуле (6.110) постоянную D и, пользуясь равенством (6.107), построить эпюру w, которая и будет удовлетворять условию (6.42). Для некоторых типов сечений на эпюре w будет несколько нулевых точек. Это означает, что при депланации все эти точки не имеют продольных смещений. Любая из них может быть принята за точку начала отсчета. Однако за главную нулевую точку принимают ближайшую к полюсу Аn.

6.7. Методика вычисления геометрических характеристик тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля

6.7.1. Вычисление геометрических характеристик равнополочного несимметричного двутавра

Для равнополочного несимметричного двутавра, показанного на рис. 6.20, требуется определить координаты центра изгиба (6.104) и (6.106), главную нулевую точку отсчетов w и вычислить секториальный момент инерции (6.58).

Рис. 6.20. Равнополочный несимметричный двутавр	Рис. 6.21. Эпюры ординат У и Х от точек профильной линии сечения до главных осей инерции Х и У

По эпюрам Y и Х (рис. 6.21) вычисляем главные центральные моменты инерции, пользуясь известной формулой Верещагина:

см4; (6.111)

см4. (6.112)

Строим эпюру wВ, располагая полюс В в точке 5 и начало отсчетов wВ в точке 2 (рис. 6.22а).

Рис. 6.22. Геометрические характеристики равнополочного

несимметричного двутавра

Перемножая эту эпюру последовательно с эпюрами Х и Y (см. рис. 6.21а, б), получаем секториально-линейные статические моменты (6.93) и (6.94):

см5; (6.113)

см5. (6.114)

По формулам (6.104) и (6.106) вычисляем координаты центра изгиба:

см; (6.115)

см. (6.116)

Центр изгиба, как и надо было ожидать, располагается на оси Ох, являющейся осью симметрии.

Для определения главной нулевой точки строим эпюру w¢, располагая полюс в центре изгиба и беря за начало отсчетов произвольную точку, а именно – точку 2 (рис. 6.22б).

Используя эпюру w¢, по формуле (6.110) вычисляем постоянную D, применяя способ Верещагина:

(6.117)

Для построения эпюры w находим по формуле (6.107)

w = w¢ – D:

w1 =60-(-20)=80 см2;	w2 = 0 - (-20)= 20 см2;
w3 = -120 - (-20)= - 100 см2;	w4 = 80 - (-20)= 100 см2;
w5 = - 40 - (-20)= - 20 см2;	w6 = -100 - (-20)= - 80 см2.	(6.118)

По этим данным на рис. 6.22в построена эпюра секториальной площади w. Искомой нулевой точкой будет ближайшая к центру изгиба, т. е. точка М0.

Секториальный момент инерции (6.58) найдем, умножив эпюру w (см. рис. 6.22в) саму на себя. В результате получим:

(6.119)

6.7.2. Вычисление геометрических характеристик двутаврового сечения с неодинаковыми полками

Пусть d1, d2, d3 и d1, d2, d3 – соответственно, ширина и толщина элементов сечения (см. рис. 6.23), Оу – ось симметрии сечения. Для определения координат центра изгиба воспользуемся общими формулами (6.104) и (6.106). Определять же нулевую секториальную точку в нашем примере нет необходимости, поскольку профиль симметричен относительно стенки, и любая точка стенки профиля является нулевой секториальной точкой.

Выберем вспомогательный полюс В секториальной площади wВ в точке пересечения стенки с верхней полкой двутавра. Начальную секториальную точку возьмем в произвольной точке стенки профиля. Вычисление интегралов в формулах (6.104) и (6.106) с учетом (6.93) и (6.94) проведем приемами строительной механики по правилу Верещагина, либо по формуле Симпсона. Для этого построим эпюры геометрических величин, входящих в подинтегральные выражения (рис. 6.24).

На рис. 6.24а приведена эпюра секториальных площадей wВ. Секториальные площади на участках верхней полки и стенки равны нулю. На участке нижней полки они представляются кососимметричной эпюрой.

На рис. 6.24б, в приведены эпюры расстояний х и у от точек профильной линии сечения до главных осей инерции.

Вычисляя интегралы и из (6.93) и (6.94) приемами строительной механики (по формуле Верещагина), т. е. умножая для каждого участка площадь одной эпюры на расположенную под ее центром тяжести ординату другой эпюры и учитывая толщины элементов d, получим:

(6.120)

(6.121)

Рис. 6.23. Двутавр с полками различных размеров

Рис. 6.24. Эпюры секторальных площадей (а) и расстояний х и у от точек профильной линии сечения до главных осей инерции (б, в) двутавра (см. рис. 6.23)

Таким же приемом вычисляем момент инерции Jy:

(6.122)