Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 8 )

Для сечения с двумя осями симметрии центр кручения совпадает с центром тяжести. На рис. 6.32б показана эпюра секториальных координат

. (6.137)

При построении эпюры обобщенных координат полюс находится в центре тяжести в точке Аn, а начальная точка отсчета – в точке на вертикальной оси симметрии.

Эпюра обобщенных координат v (рис. 6.32г) построена после вычисления следующих величин: удвоенной площади, ограниченной контуром

; (6.138)

приведенной длины контура

; (6.139)

приведенного радиуса контура

(6.140)

и построения вспомогательной эпюры , где приведенная длина дуги

, (6.141)

при постоянной толщине контура d равна S/d.

Ординаты эпюры обобщенных секториальных координат вычисляются с учетом (6.137), (6.140) и (6.141) по формуле:

v = w – . (6.142)

Легко убедиться, что . Это означает, что нулевая секториальная точка выбрана верно.

Для вычисления секторального момента инерции (бимомента инерции) (6.81) (см. п. 6.5)

,

применяются приемы строительной механики. Пользуясь способом Верещагина, получим

. (6.143)

6.7.6. Вычисление геометрических характеристик коробчатого сечения с одной осью симметрии

Для сечения замкнутого профиля (рис. 6.33а) построим эпюры обобщенных секториальных координат v (6.82) и приведенных (обобщенных) секториально-статических моментов (6.87). Вычислим также секториальный момент (6.81).

Центр тяжести сечения находится на оси симметрии посередине высоты сечения. Построим эпюру wВ при положении полюса В и начальной точки отсчета на оси симметрии (рис. 6.33б). Удвоенная площадь, охватываемая средней линией поперечного сечения wК = 0,96 м2; приведенная длина контура (6.83)

; (6.144)

приведенный радиус контура (6.137) либо (6.140)

м2. (6.145)

По величинам (6.141), (6.144) и (6.145) построены эпюры и (рис. 6.33в, г). Истинное положение полюса (точка Аn) определяется координатами ax и ay. Согласно формул (6.104) и (6.106)

; .

После вычислений получаем ax = 0, ay = – 0,294м. Перенесем полюс из точки В в точку Аn и сохраняя в качестве начальной точки отсчета точку В, построим эпюру wА (рис. 6.33д), после чего вычитая из ее ординат значения ординат эпюры , получим эпюру v (рис. 6.33е).

Для вычисления секториального момента инерции (6.81)

, (6.146)

используем способ Верещагина. После вычислений находим: Jv=11,37×10-6м6.

Ординаты эпюры обобщенных секториально-статических моментов , необходимой для вычисления касательных напряжений при стесненном кручении tw, определяются по формуле (6.87):

Рис. 6.33. Вычисление геометрических характеристик коробчатого сечения

с одной осью инерции

Эпюра секториально-статических моментов (рис. 6.33ж) строится по точкам контура с использованием формулы

. (6.147)

Для вычисления константы

из (6.87) предварительно строится эпюра r (рис. 6.34б), ординаты которой равны расстоянию от полюса до касательной к контуру сечения в данной точке. После вычитания из ординат полученного значения константы строится эпюра (рис. 6.33з).

6.8. Определение нормальных и касательных напряжений в тонкостенных стержнях от стесненного кручения

6.8.1. Расчет нормальных и касательных напряжений от стесненного кручения в тонкостенном стержне замкнутого профиля

Для тонкостенного стального стержня (рис. 6.34а) с поперечным сечением, рассмотренным в примере 6.7.6 (см. рис. 6.33а), вычислим нормальные (6.85) и касательные (6.86) напряжения от стесненного кручения.

Рис. 6.34. Расчет нормальных sw и касательных tw напряжений в тонкостенном стержне замкнутого профиля (см. рис. 6.33а)

Так как интенсивность mk внешнего распределенного крутящего момента равна нулю, то дифференциальное уравнение стесненного кручения тонкостенного стержня замкнутого профиля (6.76) принимает вид

. (6.149)

Внешний крутящий момент Mk = 100 × 0,8 = 80 кНм постоянен, а мера депланации по (6.80) равна:

.

Учитывая, что бимомент (6.79) равен

, (6.150)

представим уравнение (6.149) в виде

(6.151)

где по аналогии с (6.74) для стержней открытого профиля

, (6.152)

– изгибно-крутильная характеристика стержня замкнутого профиля; m – коэффициент депланации (6.77).

Интеграл уравнения (6.151) будет:

(6.152)

Постоянные интегрирования С1 и С2 в (6.152) найдем из граничных условий. При z = 0, Bw = 0. С учетом этого условия находим С2 = 0.

Для определения С1 используем условие (6.16):

Mw + M0 = Mкр

Учитывая, что

, (6.153)

, (6.154)

получим для (6.16):

. (6.155)

В заделке стержня (см. рис. 6.34а) при z = l мера депланации (6.80) f(z)=0. С учетом этого условия находим:

. (6.156)

Окончательно для (6.152) и (6.16) получаем с учетом (6.154):

(6.157)

(6.158)

Для вычисления коэффициента депланации (6.77) предварительно определяем момент инерции при кручении Jk (6.14) и направленный полярный момент инерции Jc (6.78):

м4. (6.159)

где S0 – приведенная дуга контура (см. формулу (6.83)).

При определении Jc по (6.78) используем эпюру r (рис. 6.34б):

=0,294×1,6×0,294×0,02+0,106×0,8×0,106×0,04+

+2×0,359××0,4×0,359×0,02=60,41×10-4м4. (6.160)

Коэффициент депланации (6.77) равен:

. (6.161)

Тогда изгибно-крутильная характеристика стержня по (6.152) будет:

(6.162)

Нормальные напряжения sw (6.85) и касательные напряжения tw (6.86) определим в сечении у заделки (см. рис. 6.34а), где Вw и Мw достигают наибольшего значения по (6.157) и (6.158):

(6.163)

. (6.164)