Глава 6. Разработка математической модели несущей способности подъемных сооружений (стр. 4 )

(6.43)

Формула (6.43) выражает закон распределения нормальных напряжении в сечении тонкостенного стержня, который принято называть законом секториальных площадей.

Так как Е и Q" для определенного сечения являются постоянными, то эпюра sw всегда имеет вид, подобный эпюре w. При этом точку М0 называют главной секториальной нулевой точкой.

Из формулы (6.43) следует также, что если Q¢ из (6.3) является постоянной величиной, как, например, при свободном кручении, то Q"=0 в (6.43) и, следовательно, нормальные напряжения в этом случае не возникнут.

Рис. 6.13. Эпюры секториальных координат сечения стержня

Для определения касательных напряжении tw (см. рис. 6.6б) в поперечном сечении стержня найдем сначала те напряжения tw, которые возникают в продольных сечениях стержня.

Для этого вырежем из стержня двумя поперечными сечениями элемент dz и отсечем от него часть атт1a1 (рис. 6.14). По боковым граням am и а1т1 этой части будут действовать нормальные напряжения sw и . В связи с этим в продольном сечении тт1 возникнут касательные напряжения tw, которые примем равномерно распределенными по толщине стенки d. Напряжения tw,. действующие в продольном сечении рассматриваемой отсеченной (отс) части, будем считать положительными, если они направлены в сторону, противоположную оси z.

По грани am отсеченной части, лежащей в плоскости поперечного сечения стержня, касательные напряжения tw возникнут по закону парности касательных напряжений. Наружные кромки аа1 и bb1 элемента dz будем считать свободными от напряжений.

Используем условие равновесия элементарной части атm1a1 и приравняем нулю сумму проекций всех действующих на него сил на ось z:

Рис. 6.14. Касательные напряжения в тонкостенном стержне под действием изгибно-крутящего момента Мw (см. рис. 6.6)

(6.44)

откуда получим

(6.45)

Подставляя значение sw из (6.43), после сокращения на dz, можно записать:

(6.46)

Дифференцируя выражение стоящее в скобках в (6.46) под интегралом и учитывая, что w от z не зависит, имеем:

(6.47)

Интеграл в правой части равенства (6.47) является секториальным статическим моментом отсеченной части сечения (аналогично формуле (6.41)):

(6.48)

Таким образом, окончательно получим из (6.47) касательные напряжения относящиеся ко второй системе (см. рис. 6.6б):

(6.49)

Формула (6.49) выражает закон распределения касательных напряжений tw в сечении стержня. Так как множитель EQ"' для определенного сечения является величиной постоянной, то, следовательно, tw в (6.490 изменяются по закону .

Следует также заметить, что в формуле (6.49) можно брать для любой из отсеченных частей (см. рис. 6.14), т. е. как для части сечения та, так и mb. Это обстоятельство вытекает из условия (6.42), согласно которого для всего сечения Sw = 0.

6.4.4. Расчетные формулы для напряжений и соответствующих им внутренних силовых факторов

Полученные в предыдущих параграфах формулы (6.43) и (6.49) для sw и tw целесообразно привести к более удобному для практического применения виду. Это преобразование сначала выполним для касательных напряжений tw (рис. 6.15).

Рассмотрим сечение тонкостенного стержня с произвольным очертанием профиля (см. рис.15). Найдем момент элементарного усилия относительно полюса А:

(6.50)

Так как

(6.51)

то

(6.52)

Интегрируя (6.52), получим изгибно-крутящий момент из (6.16):

(6.53)

Подставляя в выражение (6.53) значение tw из формулы (6.49), после несложных преобразований получим:

(6.54)

Учитывая, что и dw в (6.54) являются функциями только дуги s, получим путем интегрирования по частям

(6.55)

Произведение стоящее в прямых скобках, обращается в нуль, потому что для точек а и b (см. рис. 6.15) равен нулю.

Дифференциал из (6.55) получим, давая дуге s приращение ds. Так как в этом случае отсеченная площадь уменьшается, то в формулу для определения дифференциала следует поставить знак минус:

Рис. 6.15. Преобразование формулы (6.49) для касательных напряжений

второй системы (см. рис. 6.6б)

d= - wdds = - wdА. (6.56)

Подставляя значение из (6.56) в формулу (6.55), получим изгибно-крутящий момент из (6.16):

(6.57)

Интеграл в правой части (6.57) является геометрической характеристикой сечения, которая, по аналогии с осевым моментом инерции, обозначается через Jw и называется секториальным моментом инерции, который измеряется в сантиметрах в шестой степени (см6), м6 и др.:

. (6.58)

Таким образом, из (6.57) получим:

(6.59)

откуда вычислим 3-ю производную от угла закручивания:

. (6.60)

После подстановки найденного значения Q"' из (6.60) в выражение для касательных напряжений (6.49), окончательно получим:

(6.61)

Напомним, что положительному значению tw (6.61) на продольной площадке отсеченной части стержня (см. рис. 6.14) (для которой вычислялся ) соответствует вектор этого напряжения, направление которого не совпадает с положительным направлением оси z. В поперечном сечении стержня направление вектора устанавливается на основании известного закона о парности касательных напряжений.

Переходя к аналогичному преобразованию формулы для нормальных напряжений (6.43), введем понятие о бимоменте, который выражается в виде интеграла:

(6.62)

Выражение бимомента (6.62) имеет внешнюю аналогию с выражением внутреннего изгибающего момента. Отличие состоит лишь в том, что здесь плечо, на которое умножается элементарная внутренняя сила swdA, заменено секториальной координатой w из (6.33).

Подставляя в выражение (6.62) sw, определяемое формулой (6.43), получим:

(6.63)

Учитывая, что Е – модуль упругости 1-го рода постоянная величина, а Q" от площади сечения А не зависит, имеем:

после чего окончательно представим бимомент (6.62 в виде):

(6.64)

Отсюда найдем 2-ю производную от угла закручивания

(6.65)

Подставляя значение Q" (6.65) в формулу (6.43), получим, наряду с касательными напряжениями (6.61), нормальные напряжения

(6.66)

Очевидно, что расчетная формула (6.66) аналогична известной формуле для нормальных напряжений при плоском изгибе

Путем дифференцирования выражения (6.64) можно установить следующую зависимость между бимоментом (6.64) и изгибно-крутящим моментом (6.59):