Если $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$, $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$ -- координатные столбцы векторов $ a$и $ b$, то скалярное произведение можно задать формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}^{\top}{\beta}.$

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

 Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.  

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя $. В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{(a,a)},$то есть $\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+\ldots+{\alpha}_n^2}.$

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в $ n$-мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

 Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.  

Если $ L$ -- комплексное линейное $ n$-мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1\ovl{{\beta}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\beta}}_2+\ldots+{\alpha}_n\ovl{{\beta}}_n,$

где черта над $ {{\beta}_1,\,{\beta}_2,\ldots,\,{\beta}_n}$означает комплексное сопряжение.

 Определение 18.7   Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.  

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1\ovl{{\alpha}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\al... ...t{\vert{\alpha}_1\vert^2+\vert{\alpha}_2\vert^2+\ldots+\vert{\alpha}_n\vert^2}.$

Евклидовы пространства

Определение Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется число так, что и выполняются аксиомы:

 I.

 II.

 III.

 IV.

 Число называют скалярным произведением векторов и , - скалярным квадратом вектора (пишут ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов и .

 Длина вектора

 Длина вектора - число

 Свойства:

 1)

 2)

 3) (неравенство Коши-Буняковского);

 4) (неравенство треугольника).

Угол между векторами

 Углом между векторами и называют угол , для которого

Ортогональные векторы

 Векторы ортогональны, если

Ортогональные операторы

 Линейный оператор называется ортогональным, если

 Для того чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональной.

 Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.

 Сопряженные операторы

 Оператор называется сопряженным линейному оператору , если

 Оператор также является линейным оператором. Если f в некотором ортогональном базисе имеет матрицу A, то в этом базисе оператор имеет матрицу .

 Свойства сопряженных операторов: (f - невырожденный).

 Самосопряженные операторы

 Линейный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если

 Для самосопряженного оператора

 Оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в некотором ортонормированном базисе симметрическая.

 Свойства самосопряженных операторов: 1) самосопряженный оператор имеет только действительные собственные числа; 2) всякий самосопряженный оператор является оператором простой структуры; 3) для всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

17. Матрица Грама, ее изменение при смене базиса

Матрицей Грама называется матрица соответствующая определителю Грама

Определителем Грама системы векторов e1, e2, ..., en в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18