Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 3 )

Докажем, что семейство составляет базис пространства L1 + L2. Отсюда будет следовать утверждение теоремы:

dim(L1 + L2) = p + n - m = dim L1 + dim L2 - dim .

Поскольку каждый вектор из L1 + L2 есть сумма векторов из L1 и L2, т. е. сумма линейных комбинаций и , объединение этих семейств порождает L1 + L2. Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость.

Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость

Тогда обязательно должны существовать индексы j и k, для которых и : в противном случае мы бы получили нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса L1 или L2.

Следовательно, ненулевой вектор должен лежать также в L1, либо он равен - . Значит он лежит в и потому представим в виде линейной комбинации векторов {e1, ..., em}, составляющих базис . Но это представление дает нетривиальную линейную зависимость между векторами , что противоречит их определению. Теорема доказана.

Следствие. Пусть - размерности пространств L1, L2 и L соответственно. Тогда числа i = dim и s = dim (L1 + L2) могут принимать любые значения, подчиненные условиям и i + s = n1 + n2.

Определение. Пространство L является прямой суммой своих подространств L1, ..., Ln, если каждый вектор однозначно представляется в виде , где .

Когда условия определения выполнены, мы пишем , или . Например, если {e1, ..., en} - базис L, а - линейная оболочка вектора ei, то . Очевидно, если , то ; последнее условие является более слабым.

8. Теорема. Пусть - подпространства в L. Li тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:

а) и для всех ;

б) и (здесь предполагается, что L конечномерно).