Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 2 )

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

бei, x + yс = бei, xс + бei, yс ; бei, αxс = αбei, xс.

Это означает, что скобки б · , · с обладают свойством линейности по второму аргументу.

2.Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь координат вектора в разных базисах.

Пусть

^

A

:Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: "старый" базис e = (e1, e2,  … , en) и "новый" базис f = (f1, f2,  … , fn) .

index_entry("000") Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik)   (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются координатные столбцы векторов f1, f2,  … ,fn в базисе e , т. е.

f1 = c11 e1 + c21 e2 + … + cn1 en,
f2 = c12 e1 + c22 e2 + … + cn2 en,
… … … … … …  ,
fn = c1n e1 + c2n e2 + … + cnnen,

или в матричной форме:

f = eC

(1)

где C — матрица перехода

C =	ж з з з з и	c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … … … … cn1 cn2 … cnn	ц ч ч ч ч ш

Замечание. В силу линейной независимости базисных векторов матрица C — невырожденная ( det C ≠ 0 ). Следовательно, C имеет обратную матрицу C − 1 .

Теорема 1. Преобразование координат вектора при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

X\f = C − 1X\e.

(2)

Доказательство. Обозначим координатные столбцы произвольного вектора
x О Xn в "старом" базисе e и в "новом" базисе f

Xe =	ж з з з з и	x1 x2 … xn	ц ч ч ч ч ш

Xf =	ж з з з з и	x'1 x'2 … x'n	ц ч ч ч ч ш

Произвольный вектор x в базисе e имеет вид:

x = eXe

(3)

В базисе f тот же вектор имеет вид:

x = fXf

и в силу формулы (1)

x = eCXf.

(4)

Сравнивая формулы (3) и (4), получаем

X\e = C · Xf.

Умножая это равенство слева на C −1 , получаем формулу (2), которую требовалось доказать.

^

A

Пусть линейный оператор

: Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .

^

A

Теорема. index_entry("000") Преобразование матрицы оператора

при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

Af = C −1 Ae C.

(1)

^

A

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y =

x . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в "старом" базисе e ; Xf и Yf — в "новом" базисе f .

Yf = Af · Xf.

Ye = Ae · Xe

Тогда

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Yf = C −1 Ye = C −1 Ae Xe = C −1 Ae C Xf.

Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.

3.Подпространства линейного пространства. Теорема о размерностях суммы и пересечения подпространств.

Подпространство линейного пространства

 Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

 1)

 2)

Определение. Пусть - линейные подпространства в L. Их суммой называется множество

Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством и что эта операция сложения ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание суммы L1 + ... + Ln состоит в том, что это наименьшее подпространство в L, содержащее все Li.

Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения:

3. Теорема. Если конечномерны, то и L1 + L2 конечномерны и

dim() + dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2.

Доказательство. L1 + L2 является линейной оболочкой объединения базисов L1 и L2 и потому конечномерно; содержится в конечномерных пространствах L1 и L2.Положим m = dim , n = dim L1, p = dim L2. Выберем базис {e1, ..., em} пространства , его можно дополнить до базисов пространств L1 и L2: пусть это будет и . Назовем такую пару базисов в L1 и L2 согласованной.