определяет одну из следующих поверхностей:

30. Преобразование уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат $ Oxyz$. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

$\displaystyle a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_1x+b_2y+b_3z+c=0,$

(19.7)

где $ a_{ij},\,b_i,\,c$ -- числа, причем хотя бы одно из чисел $ a_{ij}$отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

$\displaystyle

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

$\displaystyleЭта матрица называется матрицей квадратичной формы $ f$. Она является симметричной, то есть $ {A^{\top}=A}$, или, другими словами, $ {a_{ij}=a_{ji}}$. Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами $, $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right)}$задается формулой $ {({\alpha},{\beta})={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3}$. Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

 Теорема 19.4   Если матрица $ A$ -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.  

Пусть $ A$-- матрица квадратичной формы $ f$. По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их $ {\bf i}'$, $ {\bf j}'$, $ {\bf k}'$, и пусть эти векторы имеют координаты

$\displaystyle

Базис i, j, k назовем старым, а базис $ {{\bf i}', {\bf j}', {\bf k}'}$ -- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид

$\displaystyle

Выберем новую систему координат $ {Ox'y'z'}$так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы $ {\bf i}'$, $ {\bf j}'$, $ {\bf k}'$задают направления новых координатных осей $ Ox'$, $ Oy'$, $ Oz'$(рис. 19.8).

Тогда координаты $ (x;y;z)$точки $ M$являются координатами ее радиус-вектора $ \overrightarrow {OM}$и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1) $\displaystyle

 Теорема 19.5   Пусть собственные векторы $ {\bf i}'$, $ {\bf j}'$, $ {\bf k}'$матрицы квадратичной формы $ f$, образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам $ {\lambda}_1$, $ {\lambda}_2$, $ {\lambda}_3$. Тогда в системе координат $ {Ox'y'z'}$квадратичная форма принимает вид $\displaystyle f={\lambda}_1(x')^2+{\lambda}_2(y')^2+{\lambda}_3(z')^2.$

Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение $ x$, $ y$, $ z$через новые переменные $ x'$, $ y'$, $ z'$и подставим в уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат $ Ox'y'z'$имеет вид

$\displaystyle {\lambda}_1(x')^2+{\lambda}_2(y')^2+{\lambda}_3(z')^2+b_1'x'+b_2y'+b_3'z'+c=0.$

(19.9)

Хотя бы одно из чисел $ {\lambda}_1$, $ {\lambda}_2$, $ {\lambda}_3$отлично от нуля, иначе матрица $ A$была бы нулевой.

Рассмотрим три случая.

Пусть все собственные числа $ {\lambda}_1$, $ {\lambda}_2$, $ {\lambda}_3$отличны от нуля. В уравнении (19.9) выделим полные квадраты

$\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2+{\lambda}_3(z'-z_1')^2+c'=0.$

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18