Доказательство.

а) Однозначность представления любого вектора в виде , равносильна однозначности такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если , то , и наоборот. Если имеется нетривиальное представление , в котором, скажем, , то , так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует неоднозначность представления нуля.

b) Если , то во всяком случаеи ,

потому что объединение базисов Li порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к Lj и , имеем

Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех Li прямая, то и сумма всех Li, кроме Lj, прямая, и мы можем по индукции считать, что

. Поэтому .

Наоборот, если , то объединение базисов всех Li состоит из dim L элементов и порождает все L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление нуля , дало бы нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную нулю, что невозможно.

4.Задание подпространства системой линейных уравнений.

.2.1. Для системы (1) положим

$ a_j= \left[ \begin{array}{l} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{array}... ...eft[ \begin{array}{l} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m} \end{array} \right]. $

Тогда выражение a1 x1 +a2 x2 +...+an xn = bназывается векторной формой записи системы (1). Отметим, что $x^0\ =\ (x_1^0 ,x_2^0 ,...,x_n^0 )$тогда и только тогда является решением системы (1), когда b -- линейная комбинация столбцов a1 ,a2 ,...,an с коэффициентами x10 ,x20 ,...,xn0.

4.2.2. Для системы (1) положим $A = (a_{ij} )_{m\times n} $и назовем A матрицей системы (1). Отметим, что столбцами матрицы A служат столбцы aj из векторной формы (2). Если в качестве (n+1)-го столбца к матрице A добавить столбец b из (2), то получим расширенную матрицу B= (A|b) системы (1). Матричной формой системы (1) назовем выражение \begin{displaymath}Ax^{\prime} = b, \end{displaymath}где x = (x1 ,x2 ,...,xn ), а $x^{\prime}$-- транспонированная строка x -- столбец высоты n, составленный из неизвестных. Отметим, что $x^0\in k$тогда и только тогда является решением системы (1), когда $A\cdot (x^0 )^{\prime} = b$или, что то же самое, $x^0\cdot A^{\prime} = b^{\prime}$(здесь $^\prime$означает транспонирование, умножение $\cdot$-- умножение матриц), то есть когда произведение матрицы A (размера $m\times n$) на матрицу $(x^0 )^{\prime}$(размера $n\times 1$) равно матрице b (размера $m\times 1$).

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

bracket("{", 4) м
п
п
н
п

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

… … … … … … … … … …

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

bracket(".", 3)  

(1)

Здесь aik О R ( i = 1, … , m,   k = 1, … , n ) — коэффициенты системы, x1,  x2,   … ,  xn — неизвестные и b1,  b2,   … ,  bm О R — свободные члены.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18