Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 13 )

в ортогональном случае или

в эрмитовом случае. Поэтому всегда

знак a1 ... ai = знак det Gi.

Итак, сигнатура формы g определяется числом положительных и отрицательных элементов последовательности

В частности, форма g (и ее матрица G) положительно определена тогда и только тогда, когда все миноры det Gi положительны (напомним, что G либо вещественна и симметрична, либо комплексна и эрмитово симметрична). Этот результат называется критерием Сильвестра.

Для невырожденной квадратичной формы над любым полем тождество

показывает, что исходную форму с симметричной матрицей G и невырожденными диагональными минорами Gi можно линейным преобразованием переменных привести к виду

т. к. квадраты (det Ai)2, мешающие непосредственно выразить ai через det Gi, можно внести сомножителями в переменные. Этот результат называется теоремой Якоби.

20. Ортогональные матрицы

Определение. Матрица U, для которой справедливо U T= U -1 называется ортогональной матрицей.

Свойства ортогональных матриц

Для ортогональных матриц справедливо:

|detU | = 1;

строки (столбцы) ортогональной матрицы образуют ортонормированные системы векторов в соответстующем евклидовом пространстве.

если и — два ортонормированных базиса в - мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому — ортогональная матрица.

Замечание. В приближенных вычислениях существенно используется следующее свойство ортогональных матриц — умножение на ортогональную матрицу не увеличивает погрешности округления.

21. Изометрия в евклидовых и унитарных пространствах. Свойства собственных чисел и собственных векторов оператора изометрии

Теорема 1 В пространстве U существуют такие два счетные конгруэнтные подмножества A и B, что для всякого гомеоморфизма на F\colon U --> U F(A)\B =/= \emptyset. 

Теорема 2 В пространстве U существует такое счетное подмножество A, расстояния между различными точками которого равны 1, что для всякого собственного подмножества B subset A и всякой изометрии (в) H\colon U --> U A\H(B) =/= \emptyset. 

Положительный ответ на первый вопрос Урысона дает

Теорема 3 Для всякого компактного подмножества A subset U и всякой изометрии f\colon A\hookrightarrow U существует такая изометрия на F\colon U --> U, что F|A=f. 

Следствие 1 Для всякого компактного подмножества A subset U диаметра d существует такое топологическое вложение гильбертова куба F\colon Q --> U, что A subset or equal F(Q) и \operatornamediamF(Q)=d. 

Следствие 2 Для всякого бикомпактного подмножества A subset X вполне регулярного пространства X и всякого непрерывного отображения f\colon A --> U существует непрерывное продолжение F\colon X --> U. 

Оператор

f в (комплексном) евклидовом пространстве L называется изометрическим,

если ∀x, y ∈ L

(f (x), f (y)) = (x, y).

Если L — вещественное евклидово пространство, то такой оператор f назы-

вают ортогональным.

Если L — комплексное евклидово пространство, то такой оператор f называют

унитарным.

Лемма. Следующие условия равносильны:

1. Оператор f — изометрический.

2. (∀x ∈ L) |f (x)| = |x|.

3. Если A — матрица f в ортонормированном базисе, то

At A = AAt = E в вещественном случае, (∗)

At A = AAt = E в комплексном случае, (∗∗)

где E — единичная матрица.

4. f f ∗ = f ∗ f = id, где id — тождественное отображение.

5. f переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Вещественная матрица, удовлетворяющая (∗), называется ортогональной.

Комплексная матрица, удовлетворяющая (∗∗), называется унитарной.

www. phys. nsu. ru

Из 4 также следует, что изометрический оператор — нормальный.

Доказательство. 1 =⇒ 2:

|f (x)|2 = (f (x), f (x)) = (x, x) = |x|2 .

2 =⇒ 1: Для евклидова пространства

1

(x, y) = (|x + y|2 − |x|2 − |y|2 ),

4

что проверяется прямой проверкой. Отсюда следует, что сохранение длин ведет

к сохранению скалярных произведений.

Для комплексного евклидова пространства аналогично имеем

1

Re(x, y) = (|x + y|2 − |x|2 − |y|2 ),

4

(x, y) = Re(x, y) − i Re(ix, y).

Значит сохранение длин снова ведет к сохранению скалярных произведений.

1 =⇒ 3. В ортонормированном базисе комплексного евклидового пространства

имеем

(x, y) = xt y.

Так как f (x) = Ax,

(f (x), f (y)) = (Ax)t Ay = xt (At A)y.

Тогда из (f (x), f (y)) = (x, y) выводим At A = E. Отсюда A−1 = At и, следова-

тельно, AAt = AA−1 = E.

В вещественном случае доказательство аналогично.

Лемма. Собственные числа изометрического оператора по модулю равны

единице. Собственные векторы, отвечающие разным собственным числам,