Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 12 )

Это система i - 1 линейных уравнений для i - 1 неизвестных xj. Ее матрица коэффициентов есть матрица Грама базиса пространства Li-1. По предположению, она невырождена, так что xj существуют и определены однозначно. Любой ненулевой вектор , ортогональный к Li-1, должен быть пропорционален ei.

Более простая и решаемая сразу система уравнений получится, если искать ei в виде

считая e1, ..., ei-1 уже найденными. Поскольку e1, ..., ei-1 попарно ортогональны, из условий g(ei, ej) = 0, , находим

Весь смысл этого доказательства состоит в явном выписывании систем линейных уравнений, последовательное решение которых определяет ei. Заметим, что матрица коэффициентов первой системы суть последовательные диагональные миноры матрицы Грама исходного базиса:

Если бы мы не стремились к алгоритмичности, проще всего было бы рассуждать так: в силу предположения п. 2 и невырожденности Li-1 имеем

Возьмем теперь в качестве ei любой ненулевой вектор из .

. Замечания и следствия. а) Процесс ортогонализации Грама-Шмидта чаще всего применяется в ситуации, когда g(l, l) > 0 для всех , т. е. к евклидовым и унитарным пространствам, которые подробно изучим позже. В этом случае все подпространства L автоматически невырождены, и ортогонализировать можно любой исходный базис. Форма g с таким свойством называется положительно определенной, и ее матрицы Грама называются положительно определенными.

б) В случае = R или C можно строить сразу ортонормированный базис. Для этого, отыскав вектор ei, как в доказательстве предложения, следует тут же заменить его на или (для ортогональных пространств над C).

в) Любой ортогональный базис невырожденного подпространства можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства L.

Действительно, , и в качестве дополнения можно взять ортогональный базис . Искать его можно методом Грама-Шмидта, если сначала как-нибудь дополнить базис L0 до базиса L, позаботившись о невырожденности промежуточных подпространств.

г) Пусть - базис (L, g), а {e1, ..., en} - его ортогонализация. Положим ai = g(ei, ei) - это единственные ненулевые элементы матрицы Грама базиса {ei}. Будем считать, что g эрмитова или g ортогональна над R. Тогда все числа ai вещественны, и сигнатура g определяется количеством положительных и отрицательных чисел ai. Покажем, как восстановить ее по минорам исходной матрицы Грама . Пусть Gi - i-й диагональный минор, т. е. матрица Грама . Если Ai - матрица перехода к базису {e1, ..., ei}, то