Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 14 )

ортогональны.

Доказательство. Ограничимся случаем комплексного евклидова пространства.

Если f (x) = λx, x = 0, то

(x, x) = (f (x), f (x)) = λλ(x, x),

т. е |λ|2 = λλ = 1.

Если f (x) = λx, f (y) = µy, λ = µ, x = 0, y = 0, то

(x, y) = (f (x), f (y)) = λµ(x, y).

Так как |λ| = |µ| = 1, а λ = µ, то λµ = 1. Поэтому (x, y) = 0.

Теорема (о каноническом виде матрицы унитарного оператора). Для оператора

f в унитарном пространстве следующие условия эквивалентны:

1. f — изометрия.

2. f — нормальный оператор и его спектр лежит на единичной окружно-

сти в C.

3. В подходящем ортонормированном базисе матрица f имеет вид

 

λ1 0 . . . 0

 0 λ2 . . . 0 

. . . , (∗)

 

. . .. . 

. . . .

0 0 . . . λn

где |λ1 | = |λ2 | = · · · = |λn | = 1.

Доказательство. 1 =⇒ 2: Следует из предыдущих лемм.

2 =⇒ 3: В подходящем ортонормированном базисе матрица каждого нормаль-

ного оператора имеет диагональный вид (∗). Так как спектр лежит на единичной

окружности, все λi по модулю равны единице.

3 =⇒ 1: Очевидно следует из формулы для скалярного произведения в орто-

нормированном базисе.

22. Каноническая форма ортогональных и унитарных операторов.

анонический вид матрицы ортогонального оператора. Теорема Эйле-

ра. Канонический вид матрицы ортогонального оператора более сложный.

Если dim L = 1, то f (x) = λx, где λ = ±1.

Разберем случай dim L = 2. Пусть e1 , e2 — ортонормированный базис в L.

Пусть

a b

A=

c d

— матрица ортогонального оператора f в этом базисе. Так как собственные

числа по модулю равны единице, det A = ad − bc = ±1. Сначала разберем случай

собственного ортогонального оператора: det A = 1, т. е. ad − bc = 1.

Найдем обратную матрицу

1 d −b

A−1 = .

det A −d a

Учитывая, что det A = 1, получим

d −b

A−1 = .

−d a

С другой стороны, условие ортогональности At A = E означает, что

a c

A−1 = At = ,

b d

Следовательно,

d −b a c

= .

−d a b d

Отсюда

a −c

A= ,

c a

где a2 + c2 = 1. Полагая a = cos ϕ, c = sin ϕ, заключаем, что каждый собствен-

ный ортогональный оператор имеет в произвольном ортонормированном базисе

матрицу вида

cos ϕ − sin ϕ

.

sin ϕ cos ϕ

Это — матрица поворота в плоскости на угол ϕ.

Пусть теперь f — несобственный ортогональный оператор, т. е. det A = ad −

bc = −1. В этом случае характеристическое уравнение имеет вид λ2 − a + d − 1

и, следовательно, имеет вещественные корни λ1 и λ2 . Так как по модулю они

равны единице, имеем λ1 = ±1, λ2 = ±1. Так как их произведение равно −1,

одно число равно 1, а второе −1. По лемме отвечающие им собственные векторы

e1 и e2 ортогональны. Также можно считать, что e1 и e2 — единичные векторы.

Итак, в ортонормированном базисе e1 , e2 матрица оператора f имеет вид

1 0

.

0 −1

Это — матрица зеркального отражения плоскости относительно одной из осей.

Теорема (о каноническом виде матрицы ортогонального оператора). Для опе-

ратора f в евклидовом пространстве следующие условия эквивалентны:

1. f — изометрия.

2. В подходящем ортонормированном базисе матрица оператора f имеет

вид

A(ϕ1 )

 0 

A(ϕm )

 

 

1

 

 

 .. 

1

 

 

O

 



 −1 

где

cos ϕ − sin ϕ

A(ϕ) = .

sin ϕ cos ϕ

Доказательство. 2 =⇒ 1: упражнение.

1 =⇒ 2: Случаи dim L = 1 и dim L = 2 разобраны выше.

Лемма. У каждого линейного оператора f в вещественном векторном про-

странстве L существует одномерное или двумерное инвариантное подпро-

странство.

Доказательство. Фиксируя произвольный ортонормированный базис, можем

считать, что f — оператор в Rn с ортогональной матрицей A.

Далее, если у оператора f есть вещественное собственное число λ0 ∈ R, и x0

— собственный вектор, отвечающий этому числу, то x0 порождает одномерное

инвариантное собственное подпространство. В этом случае лемма доказана.

Если вещественных собственных чисел нет, то существует комплексное соб-

ственное число λ0 = α + iβ. Ему отвечает собственный вектор

v = (x1 + iy 1 , . . . , xn + iy n ), xj, y j ∈ R, j = 1, . . . , n.

Подставляя в равенство

Av = λ0 v, aj v k = λ0 v j,

k

координаты вектора v:

aj (xk + iy k ) = (α + iβ)(xj + iy j ),

k

и отделяя вещественную часть от мнимой, имеем

aj xk = αxj − βy j,

k

aj y k = αy j + βxj.

k

В векторной записи:

Ax = αx − βy, Ay = αy + βx.

Эти равенства означают, что двумерное подпространство, порожденное вектора-

ми x и y инвариантно относительно f. Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы.

Если dim L ≥ 3 и f имеет вещественное собственное число λ (заметим, что

обязательно λ = ±1), то как и в доказательстве теоремы о каноническом виде

нормального оператора положим L = Lλ ⊕ L⊥ и будем рассуждать как в ука-

λ

занном доказательстве. Наконец, если f не имеет вещественных собственных

чисел, то следует выбрать двумерное f - инвариантное подпространство L0 ⊂ L,

которое существует по доказанной выше лемме. На нем, как мы видели выше,

матрица ограничения f в любом ортонормированном базисе будет иметь вид

A(ϕ). Поэтому остается проверить, что L⊥ также f - инвариантно. Действитель-

0

но, если (x0 , x) = 0 для всех x0 ∈ L0 , то

(x0 , f (x)) = (f (f −1 (x)), f (x)) = (f −1 (x0 ), x) = 0,

ибо f −1 (x0 ) ⊂ L0 для всех x0 ∈ L0 . Это завершает доказательство.

Следствие (теорема Эйлера). В трехмерном евклидовом пространстве любое

ортогональное отображение f, не меняющее ориентацию, является враще-

нием относительно некоторой оси.

Доказательство. Так как характеристический многочлен f имеет степень 3, у

него обязательно есть вещественный корень. Если он единственный, то он дол-

жен быть равен 1, ибо det f = 1. Если есть еще вещественный корень, то все кор-

ни должны быть вещественны и возможны комбинации (1, 1, 1) или (1, −1, −1).

В любом случае собственное значение 1 имеется. Соответствующее собствен-

ное подпространство является осью вращения, а сужение f на ортогональную к

нему плоскость является собственным ортогональным преобразованием плоско-

сти, т. е., как мы видели выше, вращением в этой плоскости на некоторый угол

ϕ.

4.5. Самосопряженный оператор, вещественность его спектра, канониче-

ский диагональный вид матрицы. Оператор f : L → L называется самосо-

пряженным (или эрмитовым), если f ∗ = f. Другими словами, если для всех

x, y ∈ L

(f (x), y) = (x, f (y)).

Теорема. 1. Оператор f самосопряжен тогда и только тогда, когда в про-

извольном ортонормированном базисе его матрица A эрмитова (эрмитово

t

симметрична), A = A, в случае комплексного евклидова пространства, и

симметрична, At = A, в случае вещественного евклидова пространства.

2. Спектр самосопряженного оператора вещественен, а собственные век-

торы, отвечающие разным собственным числам ортогональны.

3. В подходящем ортонормированном базисе матрица самосопряженного

оператора имеет диагональный вид с вещественными числами по диагонали.

Доказательство. 1. Это очевидно из связи между матрицей сопряженного опе-

ратора и матрицей исходного оператора в ортонормированном базисе.

2. Если f (x) = λx, то

λ(x, x) = (f (x), x) = (x, f (x)) = λ(x, x).

Если f (x) = λx, f (y) = µy, λ = µ, то λ, µ ∈ R и

λ(x, y) = (f (x), y) = (x, f (y)) = µ(x, y),

что влечет (x, y) = 0.

Для унитарного пространства утверждение прямо следует из того, что эр-

митов оператор нормален, и факта, что в унитарном пространстве матрица нор-

мального оператора имеет диагональный вид в подходящем ортонормированном

базисе. Диагональные элементы это конечно собственные значения оператора, а

по предыдущему мы знаем, что они вещественные.

В евклидовом пространстве вопрос проще всего ввести произвольный орто-

нормированный базис и рассмотреть матрицу данного самосопряженного опе-

ратора в этом базисе. Она — симметричная. Поэтому существует ортонорми-

рованный базис в Rn в котором эта матрица имеет требуемый вид. Последний

порождает искомый базис в L.

23. Сопряженный оператор, его матрица

Сопряженный оператор, его матрица. Пусть L — евклидово простран-

ство и f : L → L — линейное отображение (оператор). Линейное отображение

f ∗ : L → L, удовлетворяющее равенству

(f (x), y) = (x, f ∗ (y)),

называется сопряженным к f (сопряженный оператор).

Теорема. В евклидовом пространстве для каждого оператора существует

сопряженный оператор и притом только один. В ортонормированном базисе

матрица A∗ сопряженного оператора f ∗ связана с матрицей A исходного

оператора f формулой A∗ = At, a∗ i = aj , т. е. посредством транспонирова-