Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 15 )

j i

ния и комплексного сопряжения.

Для вещественного пространства матрица сопряженного оператора в ортонор-

мированном базисе является транспонированной.

Матрица At называется эрмитово сопряженной матрице A.

Доказательство. Сначала докажем формулу. Это также докажет единствен-

ность сопряженного отображения, так как по матрице отображение восстанав-

ливается однозначно.

В ортонормированном базисе

(x, y) = xt y,

где x, y — координаты векторов x, y ∈ L. Далее

а

(f (x), y) = (Ax)t y = xt At y,

(x, f ∗ (y)) = xt A∗ y = xt A∗ y,

где A и A∗ — матрицы одноименных операторов в фиксированном базисе. Если

(f (x), y) = (x, f ∗ (y)), то отсюда выводим

At = A∗ ,

что эквивалентно доказываемой формуле.

Докажем теперь существование. Это очень просто, Возьмем произвольный

ортонормированный базис. Найдем матрицу A данного отображения в этом ба-

зисе, рассмотрим матрицу At и построим отображение f ∗ с этой матрицей. Оно

— искомое.

Замечание. В произвольном базисе матрица A∗ сопряженного оператора f ∗ свя-

зана с матрицей A исходного оператора f формулой

A∗ = G−1 At G.

Действительно, как и выше выводим:

(f (x), y) = (Ax)t Gy = xt At Gy,

(x, f ∗ (y)) = xt GA∗ y = xt GA∗ y,

откуда

At G = GA∗ ,

что эквивалентно указанной выше формуле.

4.2. Нормальный оператор, канонический вид его матрицы. Пусть L — ев-

клидово пространство. Оператор (линейное отображение) f : L → L называется

нормальным, если f f ∗ = f ∗ f. Иначе говоря, если операторы f и f ∗ перестано-

вочны (коммутируют).

Теорема (о каноническом виде матрицы нормального оператора). Оператор f в

комплексном евклидовом пространстве является нормальным тогда и толь-

ко тогда, когда его матрица является диагональной в некотором ортонор-

мированном базисе.

Иначе говоря, матрица нормального оператора в ортонормированном базисе

приводится к диагональной форме.

Доказательство. Достаточность. Если в некотором ортонормированном базисе

матрица оператора f диагональная, т. е. имеет вид

 

λ1 0 . . . 0

 0 λ2 . . . 0 

. . . ,

 

. . .. . 

. . . .

0 0 ... λn

то матрица оператора f ∗ имеет вид

.

λ1 0

 0 λ2

.





0 0 ... λn

Матрицы операторов f и f ∗ — диагональные и, значит, перестановочны, но тогда

и сами операторы перестановочны.

Докажем необходимость. Выберем собственное значение λ оператора f и

определим соответствующее собственное подпространство

Lλ = {x ∈ L : f (x) = λx}.

Проверим, что Lλ — f ∗ - инвариантно: f ∗ (Lλ ) ⊂ Lλ . Действительно, если x ∈

f ∗ (Lλ ), y = f ∗ (x), то

f (y) = f (f ∗ (x)) = f ∗ (f (x)) = f ∗ (λx) = λf ∗ (x) = λy.

поскольку f f ∗ = f ∗ f, т. е. y = f ∗ (x) ∈ Lλ .

Отсюда вытекает, что пространство L⊥ f -инвариантно: если (x, x0 ) = 0 для

λ

всех x0 ∈ Lλ , то

(f (x), x0 ) = (x, f ∗ (x0 )) = 0.

Такое же рассуждение показывает, что L⊥ f ∗ - инвариантно. Ограничения f и f ∗

λ

на L⊥ , очевидно, коммутируют. Применяя индукцию по размерности L, мы мо-

λ

жем считать, что на L⊥ оператор f диагонализируется в ортогональном базисе.

λ

Так как то же верно для Lλ , это завершает доказательство.

24. Самосопряженный оператор, свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора.

Самосопряженный оператор, вещественность его спектра, канониче-

ский диагональный вид матрицы. Оператор f : L → L называется самосо-

пряженным (или эрмитовым), если f ∗ = f. Другими словами, если для всех

x, y ∈ L

(f (x), y) = (x, f (y)).

Теорема. 1. Оператор f самосопряжен тогда и только тогда, когда в про-

извольном ортонормированном базисе его матрица A эрмитова (эрмитово

t

симметрична), A = A, в случае комплексного евклидова пространства, и

симметрична, At = A, в случае вещественного евклидова пространства.

2. Спектр самосопряженного оператора вещественен, а собственные век-

торы, отвечающие разным собственным числам ортогональны.

3. В подходящем ортонормированном базисе матрица самосопряженного

оператора имеет диагональный вид с вещественными числами по диагонали.

Доказательство. 1. Это очевидно из связи между матрицей сопряженного опе-

ратора и матрицей исходного оператора в ортонормированном базисе.

2. Если f (x) = λx, то

λ(x, x) = (f (x), x) = (x, f (x)) = λ(x, x).

Если f (x) = λx, f (y) = µy, λ = µ, то λ, µ ∈ R и

λ(x, y) = (f (x), y) = (x, f (y)) = µ(x, y),

что влечет (x, y) = 0.

Собственные векторы самосопряженного оператора

Пусть А: En → En — самосопряженный оператор.

Теорема 1. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Теорема 2. Пусть А: En → En — самосопряженный оператор. В евклидовом пространстве En существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора А(собственный ортонормированный базис).

Схема построения собственного ортонормированного базиса.

1. Выбираем некоторый (лучше ортонормированный) базис и находим в нем матрицу оператора A (если она не была задана).

2. Находим корни характеристического уравнения det  (A − λE) = 0 (все они вещественны!).

3. Для каждого корня λi кратности s находим s линейно независимых решений однородной системы уравнений (A − λiE) X = O (базис ядра оператора А− λiЕ).

4. Из всех найденных векторов (их должно оказаться ровно n ) составляем базис, применяем к нему процесс ортогонализации Грама–Шмидта и нормируем.

26. Квадратичные формы, матрица квадратичной формы, ее изменение при преобразовании координат.

 Определение квадратичной формы

 Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

 Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

 Матричная запись квадратичной формы

 Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

 Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

 В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

 В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Канонический вид квадратичной формы

 Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

 Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

 1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

 2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем