Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 1 )

1. Линейное пространство, размерность, базисы и координаты.

 Определение линейного пространства

 Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

 1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

 2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

 Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

 I.

 II.

 III. (нулевой элемент, такой, что ).

 IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

 V.

 VI.

 VII.

 VIII.
 Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).

Линейная комбинация векторов

 Линейной комбинацией векторов называют вектор

 

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.

 Линейная зависимость и независимость векторов

 Система линейно зависима что

 Система линейно независима

 Критерий линейной зависимости векторов

 Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

 Размерность линейного пространства

 Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

 1) существует n линейно независимых векторов;

 2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

 Обозначения : n = dim V; .

 Базис пространства . Координаты вектора

 Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

 Обозначение:

 Для каждого вектора существуют числа такие что

 Числа называются координатами вектора в базисе () (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

 Справедливы формулы:

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется index_entry("000") n –мерным линейным пространством, а число n – его index_entry("001") размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dim Xn — размерность пространства Xn .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется index_entry("002") тривиальным. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется index_entry("003") бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en О X называется index_entry("004") базисом в X , если

система векторов e1, e2, … , en линейно независима; любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.

(1)

Выражение (1) называется index_entry("005") разложением вектора x по базису e1, e2, … , en . Коэффициенты ξ1, ξ2, … , ξn в разложении векторапо данному базису определяются однозначно. Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42). Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e1, e2, … , en называются index_entry("006") координатами вектора x в этом базисе. Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξi = бei, xс и для вектора x = {ξ1, ξ2, … , ξn} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

	bracket("(", 6) ж з з з з з и	ξ1 ξ2 … ξn	bracket(")", 6) ц ч ч ч ч ч ш

который называется index_entry("007") координатным столбцом вектора x . В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов. Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43). Замечания. 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов. 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. (М.: Наука, 1972). 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом. Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44). Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn . Тогда: При сложении векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).