Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 9 )

где однозначно определяются из соотношения . Матрица оператора f в таком базисе называется циклической клеткой. Наоборот, если матрица оператора f в базисе (e1, ..., en) является циклической клеткой, то вектор l = en цикличен, и ei = fn-i(en) (индукция вниз по i).

Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей f, не зависит от выбора исходного циклического вектора. Для этого проверим, что первый столбец клетки состоит из коэффициентов минимального многочлена оператора .

В самом деле, M(f) = 0, потому что M(f)[fi(l)] = fi[M(f)l] = 0, а векторы fi(l) порождают L. С другой стороны, если N(t) - многочлен степени < n, то , потому что иначе, применив оператор N(f) = 0 к циклическому вектору l, получим нетривиальное линейное соотношение между векторами базиса l, f(l), ..., fn-1(l).

б) Критерий цикличности пространства. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство L циклично относительно f, то его размерность n равна степени минимального многочлена оператора f и, стало быть, минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Обратное тоже верно: если операторы id, f, ..., fn-1 линейно независимы, то существует такой вектор l, что векторы l, f(l), ..., fn-1(l) линейно независимы, так что L циклично. Мы не будем доказывать это утверждение.

в) Матрица любого оператора в подходящем базисе может быть приведена к прямой сумме циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о жордановой форме. Вместо множителей характеристического многочлена следует рассматривать множители , где pi(t) - неприводимые над полем делители характеристического многочлена. Теорема единственности также имеет место, если ограничиться случаем, когда минимальные многочлены всех циклических клеток неприводимы. Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух циклических подпространств, минимальные многочлены которых взаимно просты.

15. Жорданова форма и жорданов базис линейного опреатора.

Понятие жордановой клетки и жордановой матрицы

Определение. Жордановой клеткой порядка m, отвечающей собственному значению l, называется матрица вида:

 (2.1)

Иными словами, на главной диагонали такой матрицы располагается собственное значение l, диагональ, ближайшая к главной, сплошь занята единицами, а все остальные элементы матрицы равны нулю.

Блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят жордановы клетки, называется жордановой матрицей:

Жорданов базис

Пусть матрица А приведена к жордановой форме J. Рассмотрим систему HJ=AH, где H=(hij) (4.1) - матрица перехода от исходного базиса (e) к жорданову базису (h). Это система матричных n2 уравнений с n2 неизвестными.

Определение. Пусть e – собственный вектор преобразования А, т. е. имеет место равенство А(e) = le. Вектор e1, удовлетворяющий равенству А(e1) = le1+e, (4.2)называется присоединенным вектором первого порядка;

вектор e2, удовлетворяющий равенству А(e2) = le2+e1, (4.3)- присоединенным вектором второго порядка;

вектор en, удовлетворяющий равенству А(en) = len+en-1, (4.4)- присоединенным вектором n-ого порядка.

Заметим также, что(А-lе)kek=e. (4.5)
Алгоритм нахождения векторов жорданова базиса

Чтобы найти жорданов базис, необходимо проделать следующие действия для каждой жордановой клетки.

Рассмотрим жорданову клетку порядка k, отвечающую собственному значению l. Для нее ищутся вектора жорданова базиса:

h, h1, h2, ...,hk-1, где:

h - собственный вектор, отвечающий собственному значению l;

h1 - присоединенный вектор 1-ого порядка;

h2 - присоединенный вектор 2-ого порядка;

hk-1 - присоединенный вектор (k-1)-ого порядка;

Эта совокупность векторов ищется, используя следующую систему:

 (4.6)

В результате применения этих операций ко всем жордановым клеткам, получим векторы, составляющие жорданов базис:

h, h1, h2, ...,hk-1, f, f1, f2, ...,fp-1,...

Векторам h соответствует жорданова клетка размера k, векторам f – размера p и т. д.
ex3

16. Евклидовы и унитарные пространства

Евклидово пространство

Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов    и

были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве.

Пусть  -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно , задается формулой

(18.3)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3)