Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 5 )

Совокупность n чисел c1,  c2,   … ,  cn называется index_entry("001") решением системы (1), если при подстановке их в каждое уравнение вместо соттветственно неизвестных x1,  x2,   … ,  xn все уравнения системы обращаются в тождества.

Система уравнений (1) называется index_entry("002") совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется index_entry("009") несовместной.

Введем следующие обозначения

A =	bracket("(", 5) ж з з з з	a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn	bracket(")", 5) ц ч ч ч ч

— index_entry("003") основная матрица системы (1),

Aрасш =	bracket("(", 5) ж з з з з	a11 a12 … a1n separator(1, 6) п п п п п b1 a21 a22 … a2n b2 … … … … … am1 am2 … amn bm	bracket(")", 5) ц ч ч ч ч

— index_entry("004") расширенная матрица системы (1),

X =	bracket("(", 5) ж з з з	x1 x2 … xn	bracket(")", 5) ц ч ч ч
— столбец неизвестных и
B =	bracket("(", 5) ж з	b1 b2	bracket(")", 5) ц ч
— столбец свободных членов.

Теперь можно записать систему (1) в index_entry("005") матричной форме

A · X = B.

Пусть Xn и Ym — произвольные линейные пространства. Выберем в них некоторые базисы e1,  e2,   … ,  en и f1,  f2,   … ,  fm и определим оператор А с матрицей A , векторы x = x1e1 + x2e2 + … + xnen и b = b1f1 + b2f2 + … + bmfm . Тогда система (1) эквивалентна операторному уравнению Ax=b

Из определения образа линейного оператора следует index_entry("007") условие совместности в операторной форме:

Вектор x является решением операторного уравнения (2)

Ax = b тогда и только тогда, когда вектор b принадлежит образу оператора A

Более удобной для решения задач является матричная форма условия совместности:

index_entry("008") Теорема Кронекера–Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия", стр.76.

Замечание. Система (1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Каждое уравнение этой системы — это уравнение гиперплоскости в n –мерном пространстве. Решение системы (если оно существует) определяет координаты точки пересечения этих m гиперплоскостей.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

bracket("{", 4) м п п н a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … … … … … … … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm bracket(".", 3)

(1)

Здесь aik О R ( i = 1, … , m,   k = 1, … , n ) — коэффициенты системы, x1,  x2,   … ,  xn — неизвестные и b1,  b2,   … ,  bm О R — свободные члены.

Совокупность n чисел c1,  c2,   … ,  cn называется index_entry("001") решением системы (1), если при подстановке их в каждое уравнение вместо соттветственно неизвестных x1,  x2,   … ,  xn все уравнения системы обращаются в тождества.

Система уравнений (1) называется index_entry("002") совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется index_entry("009") несовместной.

Введем следующие обозначения (см. выше )

Теперь можно записать систему (1) в index_entry("005") матричной форме A · X = B.

Векторная форма системы (1) имеет вид x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B. Здесь A1, A2, …, An — столбцы матрицы A.

Видно, что решить систему (1) значит разложить столбец свободных членов B по всем столбцам матрицы A. Это возможно тогда и только тогда, когда базисные столбцы основной матрицы являются базисными столбцами расширенной. Отсюда следует

index_entry("007") Теорема Кронекера–Капелли ( index_entry("008") условие совместности системы уравнений). Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Замечание. Система (1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Каждое уравнение этой системы — это уравнение гиперплоскости в n –мерном пространстве. Решение системы (если оно существует) определяет координаты точки пересечения этих m гиперплоскостей.

5.Прямая сумма подпространств.

Определение. Пространство L является прямой суммой своих подространств L1, ..., Ln, если каждый вектор однозначно представляется в виде , где .Когда условия определения выполнены, мы пишем , или . Например, если {e1, ..., en} - базис L, а - линейная оболочка вектора ei, то . Очевидно, если , то ; последнее условие является более слабым.8. Теорема. Пусть - подпространства в L. Li тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий: