где имеет своими элементами . Если , можно очевидным способом определить понятия блочно диагональной, блочной верхней треугольной, блочной нижней треугольной матриц. Этот же пример показывает, что не всегда удобно нумеровать столбцы и строки матрицы числами от 1 до m (или n): часто существен лишь порядок строк и столбцов.

10. Ядро и образ линейного оператора, их размерности.

Образ и ранг линейного оператора

Пусть А : Xn → Ym — линейный оператор.

Образом линейного оператора А : Xn → Ym называется множество всех векторов y О Ym , представимых в виде y = Аx , где x "пробегает" всю область определения оператора D М Xn (т. е. образ — это область значений оператора).

Образ оператора А будем обозначать Img А.

Таким образом y О Img А ЬЮ $x О Xn: Аx = y.

Теорема.

1. Образ линейного оператора А : Xn → Ym является линейным подпространством пространства Ym .

2. Размерность образа не превосходит размерности исходного пространства Xn .

Доказательство см. в книге ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000), стр.63.

Рангом линейного оператора называется размерность его образа.

Ранг оператора будем обозначать Rg А= dim Img А

.Таким образом Rg А ≤ n.

Ядро и дефект линейного оператора

Ядром линейного оператора А : Xn → Ym называется множество всех векторов x О Xn таких, что Аx = θ . Ядро оператора А будем обозначать Ker А.

Теорема. Ядро линейного оператора

А :Xn → Ym является линейным подпространством пространства Xn .

Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра.

Дефект оператора будем обозначать Def А= dim Ker А

Теорема. Сумма размерностей образа и ядра линейного оператора равна размерности исходного пространства, т. е. dim Img А + dim Ker А = n или Rg А + Def А = n.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

11. Собственные числа и собственные вектора. Характеристический многочлен оператора.

Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора

Пусть А : Xn → Xn — линейный оператор.

Вещественное число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор x О Xn такой, что А x = λ x

Вектор x называется собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению λ .

Замечание. Из определения следует, что образ собственного вектора коллинеарен его прообразу.

Свойства собственных векторов

Пусть А : Xn → Xn — линейный оператор.

1.Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.

2.Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

3.Если линейный оператор А: Xn → Xn имеет n различных (вещественных) собственных значений, то собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют базис в Xn . Такой базис называется собственным базисом линейного оператора А.

4.Матрица A линейного оператора А : Xn → Xn в некотором базисе x1, x2,  … , xn имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда этот базис собственный, причем диагональные элементы этой матрицы — собственные значения оператора λ1, λ2,  … , λn .

Нахождение собственных значений и собственных векторов по матрице оператора

Теорема. Вещественное число λ является собственным значением линейного оператора А : Xn → Xn тогда и только тогда, когда λ удовлетворяет уравнению det  (A − λE) = 0, где A — квадратная матрица n –го порядка — матрица оператора А в некотором базисе, а E — единичная матрица того же порядка, что и A .

Доказательство. Пусть вектор x — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению λ , т. е. по определению Аx = λx x = λЕ x   (А− λЕ) x = θ.

Следовательно, чтобы найти собственные значения и собственные векторы оператора А, нужно решить однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными (A − λE)X = O .

Так как по определению собственного вектора x ≠ θ , то нас интересуют лишь нетривиальные решения этой системы уравнений. Необходимым и достаточным условием нетривиальной совместности однородной системы n уравнений с n неизвестными является условие det (A − λE) = 0 , что и требовалось доказать.

Уравнение (det  (A − λE) = 0) называется характеристическим уравнением оператора А.

13. Корневые вектора и корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения \lambda \in K называется такой ненулевой вектор x \in L , что для некоторого натурального числа m

(A-\lambda \cdot 1)^m x =0.

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть (A-\lambda \cdot 1)^{m-1} x \neq 0 ), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа \lambda \in K называется множество всех корневых векторов x \in L , соответстветствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Vλ. По определению,

V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot 1)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},

где V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot 1)^m

    Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о Жордановой форме (см билет 15)):

L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i},

где суммирование производится по всем λi — собственным числам A.

14. Циклическое пространство, определение и примеры.

Циклические пространства и циклические клетки. Пространство L называется циклическим относительно оператора f, если в L существует такой вектор l, также называемый циклическим, что векторы l, f(l), ..., fn-1(l) образуют базис L. Полагая ei = fn-i(l), i = 1, ... n = dim L, имеем

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18