\begin{vmatrix}

где \langle e_i, e_j\rangle— скалярное произведение векторов ei и ej.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e1, e2, ..., en порождает подпространство U. Зная, чему равны скалярные произведения вектора x из U с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора x по векторам e1, e2, ..., en.
Исходя из разложения x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

\begin{cases} \langle

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы e1, e2, ..., en линейно независимы. Поэтому обращение в нуль определителя Грама системы векторов - это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e1, e2, ..., en порождает подпространство U. Зная скалярные произведения вектора x из V с каждым из этих векторов, найти расстояние от x до U.
Минимум расстояний |x-u| по всем векторам u из U достигается на ортогональной проекции вектора x на U. При этом x=u+n, где вектор n перпендикулярен всем векторам из U, и расстояние от x до U равно модулю вектора n. Для вектора u решается задача о разложении (см. выше) по векторам e1, e2, ..., en, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

\mathbf{u}

где Г - определитель Грама системы. Вектор n равен:

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}

и квадрат его модуля равен

|\mathbf{n}|^2

Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Определитель Грама системы n векторов равен квадрату n-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти вектор

Теорема. Преобразование матрицы оператора А при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой: Af = C −1 Ae

18. Неравенство Коши-Буняковского

Лемма (неравенство Коши--Буняковского). Для любых элементов x и y линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство

Доказательство. Допустим сначала, что x и y таковы, что (x,y) является вещественным числом. Тогда для любого вещественного $\alpha$получим

\begin{displaymath} 0\leq

Следовательно, квадратный трехчлен от переменной $\alpha$,стоящий в правой части последней формулы, имеет не более одного вещественного корня. Значит его дискриминант неположителен, т. е. $(x,y)^2 -(x,x)(y,y)\leq 0$,что и доказывает неравенство Коши--Буняковского в рассматриваемом случае.

Пусть теперь (x,y) является комплексным числом. Запишем его в тригонометрическом виде $(x,y)=re^{i\varphi }$и введем в рассмотрение вспомогательный вектор $\tilde x=e^{-i\varphi }x$.Тогда $(\tilde x,y)=e^{-i\varphi }(x,y)=e^{-i\varphi }e^{i\varphi }r=r$,а значит $(\tilde x,y)$является вещественным числом. Поэтому, используя доказанный выше частный случай неравенства Коши--Буняковского и пользуясь тем, что $(\tilde x,\tilde x)=e^{-i\varphi }(x,\tilde x)= e^{-i\varphi }\overline{(\tilde x,x)}= e^{-i\varphi }e^{i\varphi }\overline{(x,x)}=(x,x)$,будем иметь

\begin{displaymath} \vert(x,y)\vert^2=r^2=(\tilde

Лемма доказана.

19. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта

2. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Он весьма близок к описанному в предыдущем пункте, но формулируется в более геометрических терминах. Будем рассматривать одновременно ортогональный и эрмитов случай.

Исходными данными являются: пространство (L, g) с ортогональной или эрмитовой метрикой, заданной в базисе . Пусть Li - подпространство, натянутое на , i = 1, ..., n. Процесс ортогонализации, примененный к базису , можно рассматривать как конструктивное доказательство следующего результата.

3. Предложение. Предположим, что в описанных обозначениях все подпространства L1, ..., Ln невырождены. Тогда существует такой ортогональный базис {e1, ..., en} пространства L, что линейная оболочка {e1, ..., ei} совпадает с Li для всех i = 1, ..., n. Он называется результатом ортогонализации исходного базиса . Каждый вектор ei определен однозначно с точностью до умножения на ненулевой скаляр.

Доказательство. Построим ei индукцией по i. В качестве e1 можно взять . Если e1, ..., ei-1 уже построены, будем искать ei в виде

Так как порождают Li, а и {e1, ..., ei-1} порождают Li-1, любой такой вектор ei вместе с e1, ..., ei-1 будет порождать Li. Поэтому достаточно добиться того, чтобы ei был ортогонален к e1, ..., ei-1, или, что тоже самое, к . Эти условия означают, что , k = 1, ..., i - 1, или

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18