Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 6 )

а) и для всех ;

б) и (здесь предполагается, что L конечномерно).

Доказательство.

а) Однозначность представления любого вектора в виде , равносильна однозначности такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если , то , и наоборот. Если имеется нетривиальное представление , в котором, скажем, , то , так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует неоднозначность представления нуля.

b) Если , то во всяком случае

и ,

потому что объединение базисов Li порождает L и, значит, содержит базис L. По теореме п. 3, примененной к Lj и , имеем

Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех Li прямая, то и сумма всех Li, кроме Lj, прямая, и мы можем по индукции считать, что

. Поэтому .

Наоборот, если , то объединение базисов всех Li состоит из dim L элементов и порождает все L, а потому является базисом в L. В самом деле, нетривиальное представление нуля , дало бы нетривиальную линейную комбинацию элементов этого базиса, равную нулю, что невозможно.

6. Линейные отображения линейных пространств

Пусть X и Y — линейные пространства. Отображением (оператором) A, действующим из пространства X в пространство Y , называется любое правило, согласно которому каждому вектору x из некоторого множества D М X поставлен в соответствие (единственный) вектор y из Y .

Вектор y , соответствующий вектору x при отображении A

, называется образом вектора x и обозначается символом A(x) , т. е. y = A(x) . При этом x называется прообразом вектора y .

Множество D называется областью определения отображения A

. Множество E соответствующих векторов y называется областью значений отображения A.

Тот факт, что оператор A отображает множество D М X в множество E М Y , будем записывать в виде A : D М X → E М Y или просто A : X → Y .

Термины "отображение", "функция" и "оператор" являются синонимами.

Заметим, что согласно нашему определению, каждому вектору x О D соответствует единственный образ y = A(x) , т. е. мы будем рассматривать только так называемые однозначные отображения.

Линейные операторы

Отображение A :D М X → Y называется линейным отображением, или линейным оператором, если "x1, x2 О X и "α О R выполняются следующие условия:

1. A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) ;

2. A(αx1) = αA(x1) .

Если A— линейный оператор, то можно опускать скобки и писать y = Ax .

Линейные операторы, действующие из Xn в Xn , называют также линейными преобразованиями.

7. Матрица линейного отображения (оператора)

Пусть Xn , Ym — линейные пространства и А :  Xn → Ym — линейный оператор.

Пусть e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn и f1, f2, … , fm — некоторый базис в Ym . Тогда "x О Xn можно представить в виде:

x = α1e1 + α2e2 + … + αnen

и его образ y = Аx О Ym можно представить в виде:

y = β1f1 + β2f2 + … + βmem .

Поставим задачу: выразить координаты образа произвольного вектора через координаты этого вектора (т. е. координаты образа через координаты прообраза: β через α ).