Выполним параллельный перенос системы координат $ Ox'y'z'$, взяв за новое начало системы координат точку $ {O_1(x_1';y_1';z_1')}$(см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координат $ {O\tilde x\tilde y\tilde z}$уравнение запишется в виде $\displaystyle {\lambda}_1\tilde x^2+{\lambda}_2\tilde y^2+{\lambda}_3\tilde z^2+c'=0.$

Здесь возможны следующие варианты.

Пусть $ {c'\ne0}$. Перенесем $ c'$в правую часть и поделим обе части на $ -c'$, получим $\displaystyle \mu_1\tilde x^2+\mu_2\tilde y^2+\mu_3\tilde z^2=1.$ Если числа $ \mu_1$, $ \mu_2$, $ \mu_3$отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид. Если числа $ \mu_1$, $ \mu_2$, $ \mu_3$положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида. Если одно из чисел $ \mu_1$, $ \mu_2$, $ \mu_3$отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Если одно из чисел $ \mu_1$, $ \mu_2$, $ \mu_3$положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. Пусть $ {c'=0}$. Если все числа $ \mu_1$, $ \mu_2$, $ \mu_3$положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку. Если одно из чисел $ \mu_1$, $ \mu_2$, $ \mu_3$отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.

Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на $ -1$, получим случай 2 или случай 1.

Пусть одно из чисел $ {\lambda}_1$, $ {\lambda}_2$, $ {\lambda}_3$равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что $ {{\lambda}_3=0}$. Тогда в уравнении (19.9) выделим полные квадраты по переменным $ x'$, $ y'$

$\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2+b_3'z'+c'=0.$

Пусть $ b_3'\ne0$. Преобразуем уравнение к виду $\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2=-b_3'\left(z'+\frac {c'}{b_3'}\right).$

Поделим обе части уравнения на $ -b_3'$и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку $ {O_1\left(x_1',y_1',-\frac {c'}{b_3'}\right)}$. Получим уравнение

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

$\displaystyle \mu_1\tilde x^2+\mu_2\tilde y^2=\tilde z.$

Если числа $ \mu_1$и $ \mu_2$положительны, то это -- каноническое уравнение эллиптического параболоида. Если $ {\mu_1>0}$, $ {\mu_2<0}$, получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Если числа $ \mu_1$и $ \mu_2$отрицательны или $ {\mu_1<0}$, $ {\mu_2>0}$, то сменим направление у оси $ O_1\tilde z$на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.

Пусть $ {b_3'=0}$. Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси $ Oz'$, а направляющей служит кривая на плоскости $ x'O y'$с уравнением

$\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+{\lambda}_2(y'-y_1')^2+c'=0.$

Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.

Пусть только одно из чисел $ {\lambda}_1$, $ {\lambda}_2$, $ {\lambda}_3$отлично от нуля. Допустим, что $ {{\lambda}_2={\lambda}_3=0}$. Тогда в уравнении (19.9) выделим полный квадрат по переменному $ x'$

$\displaystyle {\lambda}_1(x'-x_1')^2+b_2y'+b_3z'+c'=0.$

Пусть хотя бы одно из чисел $ b_2$, $ b_3$отлично от нуля. Тогда на плоскости $ y'Oz'$возьмем две перпендикулярные прямые $ {b_1y'+b_3z'=0}$и $ {b_3y'-b_2z'=0}$. Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке $ O$, ось $ O\tilde x$направлена по оси $ Ox'$, ось $ O\tilde y$направлена вдоль второй прямой, а ось $ O\tilde z$направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид

$\displaystyle {\lambda}_1\tilde x^2+\tilde y+c'=0.$

Это -- уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси $ O\tilde z$, а направляющей служит кривая на плоскости $ \tilde xO\tilde y$с уравнением $\displaystyle {\lambda}_1\tilde x^2+\tilde y+c'=0.$

Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.

2.  Пусть $ {b_2=b_3=0}$. Тогда уравнение принимает вид $\displaystyle (x'-x_1')^2=-\frac{c'}{{\lambda}_1}.$

Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости $\displaystyle x'=x_1'\pm\sqrt{-\frac{c'}{{\lambda}_1}}.$ Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость $\displaystyle x'=x_1'.$ Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.

Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18