Линейное пространство, размерность, базисы и координаты (стр. 7 )

Используем угловые скобки для обозначения координат.

Из свойств линейности угловых скобок по второму аргументу и линейности оператора А

следует: βi = бfi, yс = бfi, Аxс = бfi

А(α1e1 + α2e2 + … + αnen)с= бfi

α1Аe1 + α2Аe2 + … + αnАenс = α1 бfi

Аe1с + α2 бfi, Аe2с + … αn бfi, Аenс

Так как в последнем выражении в угловых скобках стоят числа, обозначим их

aik = бfi, Аekс,  (i = 1, … , m,  k = 1, … , n).

Очевидно, что aik — i –ая координата образа k –ого базисного вектора.

Окончательно получаем искомое выражение координат образа через координаты прообраза

n	aikαk
∑
k = 1

βi   =  

i = 1, … , m

Итак, действие линейного оператора А : Xn → Ym определяется набором из m × n чисел, которые удобно располагать в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов.

Теперь дадим определение матрицы линейного оператора:

Матрицей линейного оператора А: Xn → Ym в базисах e1, e2, … , en и f1, f2, … , fm называется матрица размера m × n , у которой

1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства

Xn :Аe1, Аe2, … , Аen в базисе пространства Ym ;

2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.

Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):

A = (aik) =	ж з з з и	a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn	ц ч ч ч ш

Замечания.

1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по столбцам).

2. Количество столбцов матрицы линейного оператора

А : Xn → Ym равно размерности исходного пространства Xn , а количество строк — размерности пространства Ym .

3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с координатным пространством (т. е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы можем оперировать с их матрицами (т. е. с таблицами чисел).

4. Если оператор А отображает пространство Xn в Xn , то оба базиса совпадают и матрица оператора А (квадратная) определяется заданием одного базиса.

8. Изменение матрицы линейного отображения при смене базисов

Пусть задан линейный оператор A: F → F, действующий в n-мерном про-

странстве F. Если в F задан базис, то можно использовать координатное пред-

ставление оператора и свести исследование оператора к исследованию его мат-

рицы. Однако эта матрица существенно зависит от выбора базиса, чем удачнее

выбран базис, тем она проще, тем проще работа с оператором. Как выбрать

удобный базис?

Для реализации правильного выбора посмотрим, как меняются координа-

ты вектора и матрица оператора при смене базиса.

Пусть в пространстве F имеются два базиса:

e1, e2,…, en; (1)

e1′, e2′,…, en′; (1')

Каждый вектор базиса (1') можно разложить по первому базису, записав:

(2)

Эти формулы преобразования базиса полностью определяются задани-

ем матрицы

(3)

называемой матрицей перехода от базиса (1) к базису (1'). Каждый j–столбец

этой матрицы состоит из координат вектора ej′ в базисе (1).

Базисные векторы линейно независимы, поэтому матрица перехода Р не-

вырождена. И вообще, всякая невырожденная (n×n)-матрица есть матрица пе-

рахода от заданного базиса (1) к некоторому базису (1').

9. Инвариантные подпространства. Инвариантные подпространства и блочно-треугольные матрицы.

1 Инвариантные подпространства.

Пусть  -- подпространство пространства и  -- линейное преобразование в . Вообще говоря, для произвольного ,  . Например, если  -- евклидова плоскость,  -- произвольная прямая и  -- поворот на угол , то очевидно, что для любого и принадлежащего , . Однако может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя при линейном преобразовании . Введем следующие определения.

Определение 10.1   Пусть  -- линейное преобразование пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если для каждого вектора из вектор также принадлежит .

При изучении линейного преобразования в инвариантном подпространстве можно, таким образом, рассматривать это преобразование только в .

Тривиальными инвариантными подпространствами являются подпространство, состоящее лишь из нуля, и все пространство.

Большая часть матриц, встречающихся в теории линейных пространств над полем , имеет своими элементами элементы самого этого поля. Однако бывают и исключения. Например, мы будем иногда рассматривать упорядоченный базис {e1, ..., en} пространства L, как матрицу размера с элементами из этого пространства. Другой пример - блочные матрицы, элементами которых в свою очередь являются матрицы - блоки исходной. Именно разбиение номеров строк и номеров столбцов на идущие подряд попарно непересекающиеся отрезки определяет разбиение матрицы A на блоки