Фонд оценочных средств текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине Практикум по решению математических задач (стр. 14 )

15.  Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса в точках М и N. Найти длину отрезка МN, если расстояние от точки А до центра окружности равно .

16.  В треугольник АВС площади вписана окружность радиуса , которая касается сторон АС и ВС соответственно в точках М и N. Найти длину стороны АС, если : = 2 : 3 и : = 5 : 6.

17.  Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований трапеции равны и .

18.  В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, величина угла А равна . Точка D – середина гипотенузы. Точка симметрична точке относительно прямой СD, Найти величину угла .

19.  Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках М и N. Найти длину отрезка МN, если длины оснований трапеции равны a и b.

20.  В треугольнике АВС проведены высоты АМ и ВN. Найдите углы треугольника МNC, если и .

21.  В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС и ВСD, равны соответственно и . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

22.  Через точку М, лежащую внутри треугольника АВС, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовалось три треугольника, площади которых равны , и . Найти площадь треугольника АВС.

23.  Найти длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины С, если длины сторон, лежащих против вершин А, В и С, равны соответственно , , .

24.  Площадь треугольника АВС равна 16 см2. Найти длину стороны АВ, если см,см и угол С тупой.

25.  В равнобедренном треугольнике АВС длины боковых сторон АВ и АС равны , угол при вершине А равен . Прямая, проходящая через вершину В и центр О описанной около треугольника АВС окружности, пересекает сторону АС в точке D. Найти длину отрезка ВD.

26.  Точка N лежит на стороне АС правильного треугольника АВС. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников АВN и АВС, если :.

27.  Окружность проходит через вершины В, С и D трапеции АВСD и касается стороны АВ в точке В. Найти длину диагонали ВD, если длины оснований трапеции равны и .

28.  Радиус окружности равен . Из точки М проведена секущая МВ, проходящая через центр окружности, и касательная МА, причем . Найти, на каком расстоянии от центра окружности находится точка М.

29.  Через точку М, удаленную от центра окружности на расстоянии , проведена секущая МА так, что она делится окружностью пополам: . Определить длину секущей МА, если радиус окружности равен .

30.  Две окружности внутренне касаются в точке Q. Прямая, проходящая через центр О1 меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках А и D, а меньшую – в точках В и С. Найти отношение радиусов окружностей, если ::2: 4: 3.

31.  В окружность радиуса вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма длин основания и высоты равна диаметру окружности. Найти высоту этого треугольника.

32.  Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС, находится на расстояниисм и см от вершин А и В. Найти катеты.

33.  В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ имеет длину и образует с катетом АС угол . Точка D расположена на гипотенузе АВ и имеет наименьшую, по сравнению с другими точками отрезка АВ, сумму квадратов расстояний до прямых АС и ВС. Найти длину отрезка АD.

34.  В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА расположены точки А1, В1 и С1 так, что . Доказать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 совпадают.

6 семестр (экзамен)

Критерии оценивания: В экзаменационный билет входит 2 вопроса: первый вопрос – теоретический (оценивается максимально в 8 баллов), второй вопрос – практический (правильно выполненное задание оценивается в 8 баллов).

Вопрос 1

1.  Методы решения геометрических задач.

2.  Множества точек, обладающих заданным свойством.

3.  Призма, параллелепипед.

4.  Пирамида. Многоугольные пирамиды и построение её высоты.

5.  Элементы аналитической геометрии в пространстве.

6.  Цилиндр. Конус.

7.  Шар.

8.  Метод координат в пространстве.

9.  Векторы в пространстве. Применение векторной алгебры.

Вопрос 2

1.  Найти множество точек, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности.

2.  Найти множество точек, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на разных сторонах данного угла (данный угол меньше развернутого).

3.  На плоскости даны две точки А и В. Найти множество точек М этой плоскости таких, что .

4.  Найти множество точек, являющихся основаниями перпендикуляров, опущенных из данной точки пространства на прямые, лежащие в заданной плоскости и пересекающиеся в одной точке.

5.  Решить методом координат задачу 3.

6.  Концы отрезка длины скользят по двум сторонам данного прямого угла. Какую линию описывает середина отрезка?

7.  Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямую.

8.  Построить окружность данного радиуса , проходящую через две данные точки.

9.  Даны две точки, расположенные по одну сторону от данной прямой. Найти на прямой точку, сумма расстояний от которой до двух заданных точек наименьшая.

10.  Дан острый угол МОN и внутри него точка А. Построить треугольник, одна вершина которого находится в точке А, а две другие В и С – на сторонах ОМ и ОN данного угла, причем и .

11.  В правильном тетраэдре точки М и N – середины ребер АВ и СD. Найти длину отрезка МN.