Фонд оценочных средств текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине Практикум по решению математических задач (стр. 15 )

12.  В правильном тетраэдре точки М и N – середины ребер АВ и СD. Найти угол между прямыми МN и ВС.

13.  В правильном тетраэдре точки М и N – середины ребер АВ и СD. Доказать, что прямая МN перпендикулярна ребрам АВ и СD.

14.  Основание пирамиды – правильный треугольник АВС, боковые ребра SA, SB, SC имеют равные длины. Доказать, что пирамида SABC правильная.

15.  Доказать, что диагональ АС основания правильной четырехугольной призмы перпендикулярна плоскости ВВ1D1D.

16.  Доказать, что диагональ ВD1 куба перпендикулярна диагонали АС грани АВСD.

17.  В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины В1 на плоскость АD1С, если , .

18.  Найти угол между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это ребро.

19.  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 . Найти угол между диагональю АВ1 и плоскостью АА1С1С.

20.  Площадь боковой поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды равны соответственно и . Найти расстояние от вершины основания пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину.

21.  В правильной треугольной призме см, см. Найти расстояние от вершины С1 до плоскости АDВ, где D – середина ребра А1С1.

22.  Вершины А, В и D1 куба АВСDА1В1С1D1 лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого параллельна прямой DС1. Найдите радиус цилиндра, если ребро куба имеет длину .

23.  Радиус цилиндра равен , а высота его равна . Около цилиндра описан параллелепипед, отношение объема которого к объему цилиндра равно 5: π. Найти длину отрезка большей диагонали параллелепипеда, лежащего внутри цилиндра.

24.  В конус вписана пирамида SABCD, основанием которой служит трапеция АВСD. Известно, что , , (ВС и АD – основания трапеции), длина высоты SO пирамиды равна. Найти площадь боковой поверхности конуса.

25.  Около конуса описана пирамида. Доказать, что отношение объемов пирамиды и конуса равно отношению площадей их боковых поверхностей.

26.  Около сферы описан прямой параллелепипед с диагоналями длины см и 4 см. Найти радиус сферы.

7 семестр (экзамен)

Критерии оценивания: В экзаменационный билет входит 2 вопроса: первый вопрос – теоретический (оценивается максимально в 8 баллов), второй вопрос – практический (правильно выполненное задание оценивается в 8 баллов).

Вопрос 1

1.  Последовательности, предел последовательности.

2.  Непрерывность функции.

3.  Исследование функций.

4.  Производная функция.

5.  Первообразная функция.

6.  Приложения производной.

7.  Приложения теории интегралов.

8.  Дифференциальные уравнения.

Вопрос 2

1.  С помощью определения найдите производную функции у = x3, а затем, на основе полученного результата найдите производную функции y=(x−2)3 в любой точке x Î R.

2.  Найдите производную функции

3.  Укажите, при каких значениях х функция

f (x) = cos 2012х∙ cos 2011х + sin 2011х∙ sin 2012х

имеет производную, и найдите эту производную.

4.  Вычислите значение производной функции у = (х + 1)10 в точке х0 = 0.

5.  Укажите, при каких значениях х функция имеет производную, и найдите эту производную.

6.  Укажите, при каких значениях х функция имеет производную, и найдите эту производную.

7.  При каком значении а наибольшее значение функции y = | x − а | на отрезке [−2; 3] равно 4,5?

8.  Последовательность задана формулой общего члена хn = n2 − 30,5n + 205. Найдите наименьший член последовательности.

9.  Углом пересечения графика функции у = f (x) и прямой l называют угол между прямой l и касательной к графику функции, проведенной в точке пересечения. Под каким углом пересекает ось Ох график функции у = f (x) в каждой из точек пересечения, если f(x) = x2 + x − 2?

10.  Напишите уравнение касательной к графикам функций: f (x) = xe и f (x) = ex в точке с абсциссой х0 = e.

11.  Напишите уравнение общей касательной к графикам функций у = f (x) и у = j (x), если f (x) = x2 − 2х + 1 и j (x) = −x2 + 4х − 8. Найдите два способа решения задачи.

12.  При каком значении a прямая y = 7x + a является касательной к графику функции y = x4 + 3x?

13.  Парабола задана уравнением у = 3 − х2. В нее вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна его сторона лежит на оси Ох, а две вершины – на параболе. Определите стороны этого прямоугольника.

14.  Найти .

15.  Найти

16.  Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите

17.  Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y − x2 = 0 и y2 − x = 0.

18.  Рассматриваются всевозможные правильные треугольные призмы объема . Около каждой из этих призм описан цилиндр. Найти наименьшую площадь поверхности такого цилиндра.

19.  Дана правильная треугольная пирамида объема. В эту пирамиду вписан цилиндр так, что одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Найти наибольший возможный объем такого цилиндра.

ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры математики и методики ее преподавания (протокол № 12 от 01.01.01 года).

Автор: