Основы электродинамики (стр. 12 )

(в вакууме , ).

Способы представления магнитной энергии системы токов или образующих ее подсистем аналогичны используемым в электростатике. Полная энергия произвольной ограниченной системы:

, (6.23)

где – плотность тока, – векторный потенциал, обращающийся в нуль на бесконечности. Полная энергия двух подсистем с токами , создающими соответственно векторные потенциалы , представляется в виде , где

(6.24)

–  собственные энергии подсистем,

(6.25)

– их энергия взаимодействия, последнее равенство в (6.25) (возможность перестановок индексов 1 и 2) есть выражение принципа взаимности в магнитостатике.

При заданных распределениях плотности тока по объему замкнутых проводников их энергия может быть представлена как квадратичная форма полных токов, протекающих через поперечные сечения этих проводников: Собственную энергию проводника , в котором течет ток , и энергию взаимодействия любой пары проводников с токами принято записывать в виде

, , (6.26)

где коэффициенты и , зависящие от геометрии проводников и распределения плотности токов по их объему, называют соответственно коэффициентами самоиндукции и взаимной индукции. Энергию взаимодействия линейных (или квазилинейных) токов, текущих по линейным контурам , как следует из (6.25), можно также представить в виде:

, (6.27)

где

(6.28)

- поток вектора магнитной индукции (так называемый магнитный поток), создаваемый током , текущим по контуру 2, через поверхность , натянутую на контур 1. Коэффициент взаимной индукции линейных контуров можно рассчитать либо непосредственно на основании его определений (содержащихся в равенстве (6.28) или последнем из равенств (6.26)), либо по формуле, вытекающей (для однородной среды) из выражений (6.25), (5.12)):

, (6.29)

где – расстояние между векторными элементами , принадлежащими контурам 1 и 2. Как ясно из этого выражения, знак коэффициента взаимной индукции зависит от выбора положительных направлений на контурах. Коэффициент самоиндукции проводника следует рассчитывать на основании его энергетического определения (первая из формул (6.26)).

Способы расчета сил, действующих на тела в постоянном магнитном поле, также вполне аналогичны электростатическим. Непосредственно на основании общего выражения для силы Лоренца находится сила, действующая в пустоте на проводник с током в заданном внешнем поле :

а) сила, действующая на элемент квазилинейного контура (формула Ампера)

; (6.30)

б) сила, действующая на немагнитный () проводник с произвольным распределением плотности тока

; (6.31)

в) сила и вращающий момент, действующие на тело, обладающее магнитным дипольным моментом (определяемым как токами проводимости, так и намагниченностью) в слабо неоднородном внешнем поле (мало меняющемся на расстояниях порядка размеров тела)

, . (6.32)

Знание энергии системы квазилинейных проводников с токами как функции обобщенных координат , характеризующих взаимное расположение проводников или их элементов, позволяет найти соответствующую обобщенную силу:

. 6.33)

(в первом равенстве производная берется при постоянных токах во всех контурах, во втором – при постоянных значениях пронизывающих их потоков )

Тензор натяжений магнитного поля с жидкой среде с магнитной проницаемостью и плотностью определяется соотношением:

. (6.34)

Соответствующая плотность пондеромоторной силы равна

. (6.35)

7. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В качестве естественного обобщения статики, в которой изучаются не меняющиеся во времени поля, можно рассматривать квазистатику, в которой одно из полей (электрическое или магнитное) имеет статическую структуру, т. е. синхронно (без запаздывания) следует за изменением порождающих его источников, и связано в любой точке и в каждый момент времени с этими источникам теми же соотношениями, что и в статике. В соответствии с этим можно различать квазиэлектростатику и квазимагнитостатику. Меняющееся во времени квазистатическое поле при этом рассматривается как заданный источник другого поля (меняющееся электрическое поле порождает магнитное поле, а меняющееся магнитное поле порождает электрическое). Квазистатическое приближение пригодно на малых расстояниях L от источников (в вакууме L << cT, где Т – характерное время изменения токов или зарядов, являющихся источниками квазистатического поля).

В рамках квазимагнитостатики выделяется так называемое квазистационарное приближение, которое описывает квазимагнитостатику в хорошо проводящих средах. Специфика его в том, что электрические токи, создающие квазистатическое (или «квазистационарное») магнитное поле, создаются электрическим полем, возникающим лишь вследствие изменения магнитного поля. Формально уравнения квазистационарного приближения получаются из общей системы уравнений Максвелла в пренебрежении током смещения:

, j = sE, (7.1)

, B = mH. (7.2)

Вне проводящей среды такое приближение справедливо, как обычное квазимагнитостатическое приближение, на расстояниях от источников поля, значительно меньших длины волны, или в более общем виде, т. е. на расстояниях, малых по сравнению с cТ. Внутри проводящей среды такое приближение оправдано, если током смещения можно пренебречь по сравнению с током проводимости, условием чего в переменном поле частоты является неравенство:

e << 4ps/w » 4psТ (7.3)

Из системы уравнений (7.1)-(7.2) можно получить уравнения, описывающие поведение любого из векторов (Е, Н, j) в однородной проводящей среде, например, для поля в однородной проводящей среде (с учетом уравнения =0) получаем

. (7.4)

Граничные условия для векторов, определяющих магнитное поле, на границе проводника имеют обычную форму

, , (7.5)

а на границах участков с разной проводимостью, в силу непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля, наряду с (7.5), должно выполняться дополнительное условие

. (7.6)

Уравнение (7.4) имеет вид уравнения диффузии, в котором роль коэффициента диффузии играет величина с2/4psm; в частности, оно описывает процесс «сглаживания» (релаксации) любых неоднородных начальных возмущений. Приближенно это процесс может быть описан соотношением