Основы электродинамики (стр. 17 )

(8.37)

с комплексным коэффициентом диффузии .

Решение уравнения (8.37) может быть получено как с использованием функции Грина для уравнения диффузии, так и путем непосредственного интегрирования выражения (8.36):

(8.38)

Форма импульса при каждом данном существенно зависит от величины отношения , где , − характерный временной масштаб (длительность) импульса при . На малых расстояниях импульс сохраняет свою первоначальную форму (), а затем начинает «расплываться»; в области амплитудная огибающая принимает форму модуля ее первоначального спектра :

, , (8.39)

где , , .

Согласно выражению (8.39), при неизменной форме огибающей ширина (длительность) импульса линейно растет с пройденным расстоянием, а его амплитуда, в соответствии с законом сохранения полной энергии импульса, уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из пройденного расстояния.

Если импульс на входе является гауссовым ( ), его амплитудная огибающая в рамках применимости диффузионного уравнения остается гауссовой при всех , а длительность Т при распространении вглубь среды монотонно увеличивается:

. (8.40)

Из обратимости решений уравнений Максвелла во времени следует, что наряду с описанным процессом расширения импульса, при его распространении в диспергирующей среде возможен также (на определенном интервале длины или времени) обратный ему процесс сжатия (укорочения) импульса (так называемая компрессия или временная фокусировка). Обращая во времени решение вида (8.39), можно убедиться, что для компрессии импульса необходимо, чтобы в пределах огибающей амплитуды присутствовала квадратичная по времени модуляция фазы высокочастотного заполнения, которая эквивалентна линейному изменению частоты от начала к концу импульса. Сжатие импульса возможно при наличии зависимости групповой скорости от частоты, если групповая скорость, соответствующая началу импульса, меньше групповой скорости, соответствующей его концу. Максимально достижимое сжатие определяется соотношением неопределенности для ширины спектра и минимальной длительности волнового пакета: . После достижения (на некоторой ограниченной трассе распространения) максимального сжатия импульс начинает неограниченно расширяться.

8.4. Квазиоптические волновые пучки

Суперпозиция монохроматических плоских волн, распространяющихся в различных (близких друг к другу) направлениях, позволяет описать распространение в однородной среде так называемых квазиоптических волновых пучков, поперечное сечение которых значительно превышает длину волны. Волновые векторы плоских волн (фурье-составляющих), образующих такие пучки, наклонены под малыми углами друг к другу и к продольной оси пучка . Это позволяет рассматривать поле пучка как квазипоперечное, отвлекаясь при описании его пространственной структуры от его векторного характера и описывая эту структуру при помощи одной скалярной функции , в качестве которой может быть взята комплексная амплитуда любой из поперечных (перпендикулярных оси ) компонент электрического или магнитного поля. Выражая на основании дисперсионного уравнения (8.12) продольные компоненты волнового вектора через поперечные (перпендикулярные оси ) компоненты и ограничиваясь ниже (без потери общности) изучением квазиоптических пучков в вакууме (при ), представим Фурье-разложение поля в виде двойного интеграла по поперечным волновым числам :

. (8.41)

Здесь ; − радиус-вектор в поперечной плоскости . Дальнейшее описание вполне аналогично использованному выше при анализе квазимонохроматических волновых пакетов в среде с дисперсией.

Поперечный пространственный спектр поля в выражении (8.41) определяется заданием поля в некотором начальном (входном) поперечном сечении пучка :

. (8.42)

В рассматриваемом нами малоугловом (называемом также параксиальным или квазиоптическом) приближении этот спектр в основном сосредоточен в области малых значений поперечных волновых чисел (или малых углов , образуемых волновыми векторами с осью ). Его ширина определяется характерным поперечным масштабом функции (начальной шириной пучка): Интеграл (8.41) при этом можно упростить, заменяя функцию несколькими первыми членами соответствующего степенного ряда

. (8.43)

На расстояниях ), где можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда, получаем

, (8.44)

. (8.45)

Функция (медленная комплексная огибающая поля), описывающая эволюцию поперечной структуры волнового пучка при изменении , удовлетворяет уравнению поперечной диффузии (с комплексным коэффициентом диффузии ):

, (8.46)

где − поперечный оператор Лапласа. Запись решения этого уравнения при помощи отвечающей ему функции Грина (или на основании прямого анализа спектрального представления (8. 45)) позволяет получить закон преобразования поля от начального сечения к любому другому поперечному сечению :

. (8.47)

На малых расстояниях (в так называемой прожекторной зоне или зоне геометрической оптики) пучок сохраняет свою первоначальную поперечную структуру. В противоположном предельном случае при (зона Фраунгофера) поперечная огибающая пучка принимает форму его пространственного Фурье-спектра (8.42):

. (8.48)

Амплитуда поля в зоне Фраунгофера убывает обратно пропорционально расстоянию z, а поперечные размеры пучка возрастают пропорционально z, что соответствует сохранению полной мощности, переносимой через всю поперечную апертуру пучка. В случае действительной функции (плоский фазовый фронт во входном сечении) характерный размер поперечной апертуры пучка монотонно увеличивается при переходе от зоны геометрической оптики к зоне Фраунгофера.