Основы электродинамики (стр. 28 )

Полная энергия электромагнитного поля в резонаторе складывается из электрической () и магнитной () энергий. В идеальном резонаторе, заполненном непоглощающей средой (с чисто действительными и , вообще говоря, зависящими от частоты), величина , а также средние по времени значения , сохраняются и могут быть найдены (если известны распределения амплитуд поля по объему резонатора) на основании приведенных в разделе 8 (формулы 8.17, 8.18) выражений для соответствующих средних плотностей энергии .

Затухание собственных колебаний в реальных резонаторах (означающее в рамках используемого описания комплексность их собственных частот) обусловлено, как и в волноводе, потерями энергии в заполняющей среде и (или) в металлических стенках. Затухание колебаний в резонаторе, заполненном однородной среде с комплексными и (при идеальной проводимости стенок) легко учитывается, если известен спектр волновых чисел идеального пустого резонатора. Комплексные частоты колебаний находятся из равенства . Ввиду действительности , мнимая часть частоты, определяющая скорость затухания колебаний согласно закону , отлична от нуля (отрицательна), если отличны от нуля (положительны) мнимые части или .

Потери энергии в металлических стенках резонатора могут быть учтены методом, аналогичным описанному выше для волноводов. Мощность потерь в стенках (средний поток энергии в проводник)

(12.3)

(интегрирование проводится по границе резонатора ). Как следует из закона сохранения энергии, постоянная затухания

, (12.4)

где – полная энергия поля в резонаторе, выражаемая интегралом от средних плотностей энергии электрического и магнитного полей. В случае сравнительно медленного затухания () в качестве полей и , определяющих величины и в формуле (12.4), можно использовать поля, найденные для идеального резонатора (при ). В качестве характеристики скорости затухания часто используется обратная ей безразмерная величина , называемая добротностью колебания.

12.2. Возбуждение колебаний заданными источниками

Поля вынужденных электромагнитных колебаний в идеальном (или близком к идеальному) резонаторе, возбуждаемом изнутри заданными сторонними источниками, могут быть найдены на основании метода, аналогичного используемому в теории возбуждения волноводов – путем разложения полей этих колебаний по собственным модам резонатора. Пусть внутри резонатора заданы сторонние электрические и магнитные токи (11.39), гармонически изменяющиеся во времени с частотой . Создаваемые ими поля представляют собой действительные части выражений вида , где комплексные амплитуды рассчитываются по следующим формулам

, , (12.5)

, (12.6)

, (12.7)

, (12.8)

, (12.9)

Здесь и – соответственно вихревые (называемые также соленоидальными или поперечными) и потенциальные (называемые также продольными) поля, удовлетворяющие условиям , .

Потенциальные поля не обладают резонансными свойствами, их потенциалы в идеальном резонаторе, заполненном однородной средой, представляют собой решения уравнений Пуассона

, (12.10)

с граничными условиями

(12.11)

В уравнениях (12.10) – плотности электрических и эквивалентных (фиктивных) магнитных зарядов).

Вихревые поля представлены выражением (12.7) в виде разложений по собственным модам; поля и частоты которых определяются решением задачи о собственных колебаниях данного резонатора, заполненного средой с проницаемостями , взятыми на частоте сторонних источников. Величина в выражениях для коэффициентов разложения (12.8), (12.9), называемая нормой колебания типа , равна

. (12.12)

При приближении частоты сторонних токов к любой из собственных частот имеет место явление резонанса: коэффициенты , определяющие амплитуды вынужденных колебаний соответствующей моды, сильно возрастают. Их максимальные (резонансные) значения обратно пропорциональны мнимой части собственной частоты (), т. е. прямо пропорциональны добротности колебания . Таким образом, определяемая полученными соотношениями зависимость амплитуды поля внутри резонатора или запасенной в нем полной энергии от частоты сторонних источников представляет собой в общем случае кривую, характеризуемую множеством резонансных пиков на собственных частотах . Если постоянная затухания мала по сравнению с частотным интервалом между соседними пиками, т. е. выполнено условие

, (12.13)

каждый резонансный пик имеет форму, совпадающую с резонансной кривой обычного линейного осциллятора, например, электрического колебательного контура. Как и в случае контура, мерой остроты пика может служить мнимая часть собственной частоты (постоянная затухания) , равная его полуширине на том уровне, где запасенная энергия составляет половину максимального (резонансного) значения (а снижение амплитуды поля составляет ). В любом реальном резонаторе при больших значениях индекса отношение с ростом убывает, благодаря чему число достаточно отчетливо выраженных резонансов оказывается конечным. В области, где неравенство (12.13) нарушается, пики сливаются между собой и амплитуда поля не испытывает заметного возрастания.

Заметим, что при сильном резонансе какой-либо моды отвечающее ей слагаемое в суммах (12.7) много больше всех остальных слагаемых. Пренебрегая этими последними и учитывая, что коэффициенты и при почти одинаковы, находим, что поле вынужденного колебания на резонансе имеет практически ту же структуру, что и поле возбуждаемой моды: