Основы электродинамики (стр. 3 )

Законы сохранения заряда и энергии для поля в среде могут быть записаны в той же форме (1.6), (1.7), (1.11), (1.12), что и в вакууме. При этом для вектора Пойнтинга , определяющего плотность потока энергии в законе сохранения энергии (1.11), (1.12), может быть принято универсальное (пригодное для любой среды) выражение

, (1.24)

обобщающее приведенное выше (в формуле (1.13)) для вакуума. Однако для определения плотности энергии поля в среде вообще говоря, оказывается необходимым анализ конкретных микромоделей среды, и достаточно общее выражение для может быть получено лишь для некоторых ограниченных классов явлений и моделей среды. В частности, это оказывается возможным для статических (или близких к ним) полей в диэлектриках и магнетиках, описываемых линейными материальными уравнениями (1.22). Плотность энергии в этом случае полностью определяется векторами индукции и напряженности поля:

. (1.25)

Уравнения Максвелла (1.12)-(1.15) (как и уравнения для поля в вакууме (1.1)-(1.4)) могут быть записаны в интегральной форме:

, (1.26)

. (1.27)

, (1.28)

. (1.29)

В левых частях уравнений (1.26), (1.27) интегрирование производится по произвольному замкнутому линейному контуру , а в правых – по произвольной поверхности , ограничиваемой этим контуром (опирающейся на контур). Направление обхода по контуру (определяющее направление элементарных касательных векторов ) и направления векторов нормали к поверхности (определяющие направления векторов элементарных площадок ) согласованы по правилу правого винта. В левых частях уравнений (1.28), (1.29) интегрирование производится по произвольной замкнутой поверхности S; ограничивающей объем ; нормаль на поверхности – внешняя.

Из интегральных уравнений (1.26)-(1.29) легко получить граничные условия для полей на любой поверхности. При условии ограниченности всех компонент поля эти условия, предусматривающие возможность совпадения поверхности с границей среды или присутствия на ней так называемых поверхностных (полностью сосредоточенных на поверхности) свободных зарядов и токов, имеют вид:

, (1.30)

(1.31)

, (1.32)

, (1.33)

где индексами 1 и 2 помечены поля в двух бесконечно близких точках, лежащих по разные стороны граничной поверхности; – единичный вектор нормали к поверхности, направленный от 1 к 2; – поверхностная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу площади поверхности); – вектор поверхностной плотности тока, определяющий согласно соотношению величину элементарного тока , протекающего по поверхности через лежащий на ней элементарный отрезок ( – единичный вектор, касательный к поверхности и нормальный к отрезку ). Условия (1.31), (1.32) выражают непрерывность нормальной к границе компоненты вектора магнитной индукции и тангенциальной компоненты напряженности электрического поля. Условия (1.30), (1.33) определяют величины скачков нормальной компоненты электрической индукции и тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля при наличии на границе поверхностных зарядов или поверхностных токов.

Уравнения Максвелла для поля в вакууме или в среде с материальными уравнениями вида (1.21), (1.22) при заданных источниках поля являются линейными. Поэтому их решения удовлетворяют принципу суперпозиции, играющему важную роль в решении задач электродинамики. Согласно этому принципу, поле, создаваемое системой нескольких произвольных источников, представляет собой в каждой точке пространства и в каждый момент времени сумму полей, созданных каждым из этих источников в отдельности.

2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОЛЯ И ИСТОЧНИКИ

В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Электростатика представляет собой раздел электродинамики, в котором изучаются постоянные (не зависящие от времени) электрические поля, создаваемые заданными распределениями электрических зарядов. Как следует из общей системы уравнений Максвелла (1.17)-(1.20), электростатическое поле в среде определяется двумя уравнениями:

, (2.1)

; (2.2)

где r() - заданное статическое распределение объемной плотности свободных электрических зарядов, которое можно рассматривать в качестве источника электростатического поля.

Уравнения (2.1), (2.2) могут быть переписаны в интегральном виде (см. также (1.27), (1.29)):

, (2.1а)

; (2.2а)

в уравнении (2.1а) L – произвольный замкнутый контур, а в уравнении (2.2а) V – произвольный объем, S –ограничивающая его замкнутая поверхность, Q - полный электрический заряд в объеме V. Интегральная форма записи (2.2а) называется также теоремой Гаусса-Отроградского.

Из уравнения (2.1) следует, что электростатическое поле может быть представлено как градиент некоторой скалярной функции j, называемой потенциалом электростатического поля:

. (2.3)

Выражение (2.3) позволяет однозначно определить электрическое поле по его заданному потенциалу; потенциал при заданном электрическом поле определен с точностью до произвольной константы, однозначно определяется лишь разность потенциалов между любыми двумя точками в пространстве:

. (2.4)

В силу уравнения (2.1а) интеграл в (2.4) не зависит от формы пути, соединяющего точки 1 и 2. Обычно (если это не противоречит условиям задачи) принимается, что потенциал равен нулю в бесконечно удаленной точке.

В общем случае потенциал электростатического поля в однородной среде с линейным материальным соотношением (см. также (1.22)):

D = eE (2.5)

подчиняется уравнению Пуассона, которое получается при подстановке выражений (2.3) и (2.5) в (2.2):

, (2.6)

где – дифференциальный оператор второго порядка, называемый оператором Лапласа; в декартовой системе координат ).

Ниже будем рассматривать поля, создаваемые свободными зарядами в вакууме, полагая e = 1. Все полученные решения в этом случае решения могут быть перенесены на случай однородной (и безграничной) среды с e =const ¹ 1: при одних и тех же источниках поля Е и j во всех точках среды уменьшаются в e раз по сравнению с вакуумом, а поле D во всех точках среды не изменяется, т. е. совпадает с полем Е, рассчитанным для вакуума. Фактически, все решения для потенциала и электрического поле в однородной среде с диэлектрической проницаемостью получаются из соответствующих решений в вакууме путем замены на . Физический смысл этой замены в том, что поле и потенциал определяются суммарной плотностью свободных () и связанных () зарядов, которая в случае однородного диэлектрика равна

(), (2.7)